自 学 导 引
1.掌握直线方程的一般式. 2.能根据条件熟练地求出直线的方程.
课 前 热 身
1.在平面直角坐标系中,对于任何一条直线,都有一个表示这条直线的关于x、y的____________;任何关于x、y的二元一次方程都表示______________.方程_________________________________叫做直线方程的一般式.
二元一次方程
一条直线
Ax+By+C=0(其中A､B不同时为零)
2.对于直线Ax+By+C=0.当B≠0时,其斜率为__________,在y轴上的截距为_________;当B=0时,在x轴上的截距为_____________;当AB≠0时,在两轴上的截距分别为____________､____________.
名 师 讲 解
直线和二元一次方程的关系因为在直角坐标系中,每一条直线都有倾斜角α.
(1)当α≠90°,如右图所示,直线斜率存在,方程可写成y=kx+b,它可变形为kx-y+b=0,与二元一次方程一般形式Ax+By+C=0比较,有A=k,B=-1,C=b.
(2)当α=90°时,如右图,直线斜率不存在,其方程可写成x=x1,与二元一次方程Ax+By+C=0比较有A=1,B=0,C=-x1(显然A､B不同时为0).
所以,在平面直角坐标系中,对于任何一条直线有一个表示这条直线的关于x,y的二元一次方程.反过来,任何关于x,y的二元一次方程都能表示一条直线吗?二元一次方程的一般形式Ax+By+C=0,①其中A､B不同时为0.
(1)当B≠0时,方程①可化为y=- ,它表示斜率为 在y轴上截距为 的直线(斜截式方程).
(2)当B=0时,由于A､B不同时为0,必有A≠0,方程①可化为x=- 它表示一条与y轴平行或重合的直线.(3)当A=0时,或A≠0时,同样可推出方程①表示直线.所以在平面直角坐标系中,任何关于x、y的二元一次方程都表示一条直线.综上可知,在平面直角坐标系中,直线与x、y的二元一次方程是一一对应的.由此导出概念,方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程.
典 例 剖 析
题型一 直线与方程
例1:求直线l:3x+5y-15=0的斜率以及它在x轴,y轴上的截距,并画图.
解:将直线l的方程3x+5y-15=0写成y=- x+3,因此,直线l的斜率k=-在方程3x+5y-15=0中,当x=0时,y=3;当y=0时,x=5.所以,直线l在y轴上的截距为3,在x轴上的截距为5.
画一条直线时,只要找出这条直线上的任意两点就可以了.通常是找出直线与两个坐标轴的交点.上面已经求得直线l与x轴,y轴的交点分别为(5,0),(0,3),过这两点作直线,就得直线l,如下图.
变式训练1:用一般式或斜截式写出下图中各条直线的方程.
解:(1)x-y+2=0(或y=x+2);(2)x+y-1=0(或y=-x+1);(3)x+3y-3=0(或y=- x+1);(4)x+2y+2=0(或y=- x-1).
题型二 直线平行与垂直
例2:已知两条直线方程l1:mx+2y+8=0,l2:x+my+3=0,当m为何值时:(1)两直线互相平行;(2)两直线互相垂直.
分析:因为直线方程中x,y的系数含有字母m,所以要分m=0和m≠0讨论解答.
解:(1)当m=0时,l1:y+4=0,l2:x+3=0,显然l1与l2不平行;
(2)由(1)知,当m=0时,显然有l1⊥l2;当m≠0时,若l1⊥l2,则有时m不存在.综上知,当m=0时,l1与l2互相垂直.
规律技巧:对于两直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.有以下结论:(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1≠0(或B1C2-B2C1≠0).(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.(3)l1与l2重合⇔A1B2-A2B1=0且A1C2-A2C1=0(或B1C2-B2C1=0).
变式训练2:已知三直线l1:2x-4y+7=0,l2:x-2y+5=0,l3:4x+2y-1=0,求证:l1∥l2,l1⊥l3.
证明:把l1、l2、l3的方程写成斜截式得
题型三 综合问题
例3:求证:不论m取什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5总过某一定点.
分析:由题意知,不论m取什么值,直线总是通过定点,也就是说与m的取值无关,因此可将方程变形为m的方程,令m的系数为0,解方程组得出定点坐标.
证明:方法1:把原方程变形得(x+2y-1)m-(x+y-5)=0,此式对于m的任意实数都成立,∴ x+2y-1=0, x+y-5=0.∴ x=9, y=-4.即直线过定点(9,-4).
方法2:取m=1,得y=-4,取m=,得x=9.把点(9,-4)代入直线方程,右边=(m-1)×9+(2m-1)(-4)=m-5=右边.所以不论m取什么实数,点(9,-4)总在直线上,故该直线过定点(9,-4).
变式训练3:直线l在y轴上的截距为2,且与直线l1:x+3y-2=0垂直,求l的方程.
解:由l1的方程x+3y-2=0得,kl1= ,∵l⊥l1,∴l的斜率kl= =3.又l在y轴上的截距为2,∴l的方程为y=3x+2,即3x-y+2=0.
易错探究
例4:已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当l1∥l2时,求m的值.
错解:∵l2的斜率k2=-由l1∥l2,∴l1的斜率k1也一定存在,由l1的方程得k1=由k1=k2,得

解得m=3或m=-1.∴m的值为3或-1.
错因分析:本题出错的主要原因在于没有领会两直线平行的条件.两直线平行时斜率存在则相等,不存在时则它们的斜率都不存在;当两直线的斜率相等时,可能平行也可能重合.本题的错解仅求出了k1=k2时m满足的条件,而没有考虑重合的情况.
正解:方法1:∵l2的斜率k2= 纵截距b2=- m.∵l1∥l2,∴l1的斜率必存在,
方法2:由l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0,且A1C2-A2C1≠0,得1×3-m(m-2)=0,且1×2m-6(m-2)≠0.解得m=-1,∴m的值为-1.
技 能 演 练
基础强化
1.直线y-1=4(x+2)化为一般式方程为( )A.4(x+2)-y+1=0 B.y=4x+9C.4x-y+9=0 D.
答案:C
2.直线2x-y+3=0化为斜截式方程为( )
答案:A
3.直线ax+2y+1=0与直线x+y-2=0互相垂直,则a等于( )
答案:A
4.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和二､四象限,则( )A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=0
解析:∵l过原点,∴C=0.又l过二､四象限,则其斜率小于0,即
- <0.∴AB>0.
答案:D
5.直线l过点P(1,3),且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )A.3x+y-6=0 B.x+3y-10=0C.3x-y=0 D.x-3y+8=0
答案:A
6.直线mx+y-m=0,无论m取什么实数,它都过点________.
解析:将mx+y-m=0变形为(x-1)m+y=0,令x=1,得y=0,∴直线过定点(1,0).
(1,0)
7.已知直线(a+2)x+(a2-2a-3)y-2a=0在x轴上的截距为3,则该直线在y轴上的截距为________.
解析:把(3,0)代入已知方程得:(a+2)×3-2a=0,∴a=-6.∴直线方程为-4x+45y+12=0,令x=0,得
8.直线方程Ax+By+C=0的系数A､B､C满足什么条件时,这条直线具有如下性质?(1)与x轴垂直;(2)与y轴垂直;(3)与x轴和y轴都相交;(4)过原点.
答案:(1)B=0,(2)A=0,(3)AB≠0,(4)C=0
能力提升
9.求满足下列条件的直线方程:(1)过点A(1,-4),与直线2x+3y+5=0平行;(2)过点A(1,-4),与直线2x-3y+5=0垂直.
解:(1)直线2x+3y+5=0的斜率为∵所求直线和已知直线平行,∴它的斜率也是 由点斜式得所求方程为y+4=- (x-1),即2x+3y+10=0.
(2)2x-3y+5=0的斜率为 所求直线和已知直线垂直,所以所求直线的斜率为 由点斜式方程得y+4=- (x-1),即3x+2y+5=0.
10.已知△ABC在第一限,A(1,1),B(5,1),∠A=60°,∠B=45°, 求:
(1)AB所在直线的方程;(2)AC和BC所在直线的方程;(3)AC,BC所在直线与y轴的交点间的距离.
分析:求AB的方程时,先观察两点坐标易得,AC,BC通过画图易求其斜率,然后点斜式写出即可.
解:(1)因为kAB= =0,所以AB所在直线方程为y=1.(2)kAC=tan60°= ,所以AC所在直线方程为y-1= (x-1),即 x-y+1- =0,又kBC=tan(180°-45°)=-tan45°=-1,所以BC所在直线方程为y-1=-(x-5),即x+y-6=0.(3)由直线AC的方程令x=0,则
由直线BC的方程x+y-6=0,令x=0,则y=6.所以两交点间的距离为
品 味 高 考
11. 已知两条直线y=ax-2和y=(a+2)x+1互相垂直,则a等于( )A.2 B.1C.0 D.-1
解析:由题意得a(a+2)=-1,即(a+1)2=0,∴a=-1.
答案:D
12.已知两条直线l1:ax+3y-3=0,l2:4x+6y-1=0,若l1∥l2,则a=________.
2