3.2.3　直线的一般式方程
1.理解关于x,y的二元一次方程与直线之间的关系.
2.明确直线方程一般式的特征,并能将一般式与其他形式的方程进行互化.
3.能根据直线的一般式方程进行简单的应用(求斜率、截距等).
1.直线的一般式方程
(1)关于x,y的二元一次方程，它都表示一条_____.
(2)直线的一般式方程__________，其中A,B不同时为__，若
A=0，则y=____，它表示一条与____平行或重合的直线；若
B=0，则x=____，它表示一条与____平行或重合的直线.
直线
Ax+By+C=0
0
x轴
y轴
2.直线方程的互化
(1)直线的一般式Ax+By+C=0(B≠0),化为斜截式为
____________;化为截距式为______________.
(2)点斜式y-y0=k(x-x0),化为一般式为_______________;斜
截式y=kx+b,化为一般式为_________;两点式= ,
化为一般式为_____________________________________;截
距式 =1化为一般式为___________.
kx-y-(kx0-y0)=0
kx-y+b=0
(y2-y1)x-(x2-x1)y+(x2-x1)y1-(y2-y1)x1=0
bx+ay-ab=0
1.“判一判”理清知识的疑惑点(正确的打“√”，错误的打
“×”).
(1)坐标平面内的直线都可以用关于x,y的二元一次方程
Ax+By+C=0(A与B不同时为0)表示.( )
(2)任何一条直线的方程都可以转化为一般式.( )
(3)直线Ax+By+C=0，在x轴上的截距为 ，在y轴上的截距
为 .( )
(4)若直线Ax+By+C=0与两坐标轴都相交，则A≠0或B≠0.( )
提示：(1)正确.当A与B不同时为0时，二元一次方程
Ax+By+C=0与平面内的直线是一一对应的.
(2)正确.平面内的直线方程都可以写成一般式.
(3)错误.当A≠0且B≠0时，直线在x轴上的截距为 ，在y
轴上的截距为 .
(4)错误.直线与两坐标轴都相交，则A·B≠0，而不是A≠0
或B≠0.
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
2.“练一练”尝试知识的应用点(请把正确的答案写在横线
上).
(1)经过点(1,2),斜率为 的直线的一般式方程为_________.
(2)在y轴上的截距为2,且过点(-1,4)的直线的方程为_______.
(3)方程2x-3y-1=0在x轴上的截距为____________;
在y轴上的截距为_____________.
(4)若直线-2x+ay+m=0的斜率为1,则a=___________.
【解析】(1)由直线方程的点斜式，得y-2= (x-1)，整理得
x+3y-7=0.
答案：x+3y-7=0
(2)因为在y轴上的截距为2，所以设直线方程为 把点
(-1,4)代入,得a=1，所以所求直线的方程为 整理得
2x+y-2=0.
答案：2x+y-2=0
(3)令x=0，得y= ，令y=0，得x= ，所以直线在x轴,y轴上
的截距分别为 , .
答案：
(4)因为直线-2x+ay+m=0的斜率为1，所以 ，所以a=2.
答案：2
一、直线的一般式方程
探究：观察图象，思考下列问题：
(1)坐标平面内的直线，都可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示吗？
提示：可以，坐标平面内的任何一条直线，都可以用关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)表示.
(2)坐标平面内的直线与关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0是否为一一对应关系？
提示：不构成一一对应.坐标平面内的直线都可以看成关于x,y的二元一次方程，且方程有无数个.但一个关于x,y的二元一次方程对应着唯一的一条直线.
(3)对于直线的一般式方程Ax+By+C=0，当直线垂直于坐标轴
时，A,B满足什么条件？当C=0时，表示怎样的直线？
提示：当A=0,B≠0时，直线方程化为 表示与y轴垂直
的直线；当A≠0,B=0时，直线方程化为 ，表示与x轴垂
直的直线；当C=0时，方程表示过原点的直线.
【探究提升】对直线一般式方程的理解
(1)表示形式Ax+By+C=0(A,B不同时为0),是关于x,y的二元一次方程.
(2)A,B不同时为0,分三种情况：①A≠0,B≠0;②A≠0,B=0;
③A=0,B≠0.
(3)适用范围：坐标平面内的任何一条直线.
二、直线方程的互化
探究1：已知直线l过点(2,0),(0,3)，思考下列问题：
(1)能否写出直线l的方程的五种形式？
提示：能.直线l的斜率 点斜式方程y-0=- (x-
2)；斜截式方程y=- x+3；两点式方程 截距式方
程 一般式方程3x+2y-6=0.
(2)直线的一般式方程与其他形式比较，有什么优点？
提示：坐标平面内的任何一条直线，都可以用一般式表示，而其他形式都有一定的局限性.
探究2：根据直线的一般式方程Ax+By+C=0，思考下列问题：
(1)已知直线的一般式方程Ax+By+C=0，如何求直线的斜率？
提示：若B≠0，直线方程可化为 故直线的斜率
为 若B=0，则直线的斜率不存在.
(2)直线Ax+By+C=0，在x轴,y轴上的截距是多少？
提示：当A,B,C均不为0时，一般式方程Ax+By+C=0可化为
此时在x轴,y轴上的截距分别为 当
A=0,B,C均不为0时，直线平行于x轴，此时在y轴上的截距为
；当B=0,A,C均不为0时，直线平行于y轴，此时在x轴上
的截距为
【探究提升】1.五种直线方程的常数的意义与适用范围
2.直线方程的五种形式的两点说明
(1)点斜式、斜截式、两点式、截距式均能直接化成一般式.
(2)各种形式互化的实质是方程的同解变形.
类型 一 直线的一般式方程
　　尝试解答下列题目,理解直线方程的一般式,并能够利用直线的一般式方程解决有关问题.
1.过点(2,-1)和(3,2)的直线的一般式方程为　　　　　　.
2.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+1=0表示直线,求实数m的范围.
【解题指南】1.根据直线方程的两点式,写出直线的两点式方程,再化为一般式方程;或者设出直线方程的一般式,得出有关参数的方程组,从而得出直线的一般式方程.
2.根据直线方程的一般式的条件求解.
【解析】1.方法一：由直线方程的两点式，可得直线的方程
为 整理得3x-y-7=0.
方法二：设所求直线的方程为x+my+n=0，把点(2,-1),(3,2)
代入,得 解得 所以所求直线的方
程为 整理得3x-y-7=0.
答案：3x-y-7=0
2.由 解得m=2,因为方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-
2m+1=0表示直线,所以(m2-3m+2)与(m-2)不同时为0，即m≠2.
【技法点拨】直线的一般式方程的求法
(1)利用题目条件求出直线的其他形式，再化为一般式.
(2)设直线的一般式方程，若A≠0，则方程可设为
只需确定 若B≠0，则方程可设为
只需确定
【变式训练】求满足下列条件的直线的一般式方程.
(1)斜率为4，在y轴上的截距为-2.
(2)斜率是 ，且经过点A(5，3).
【解析】(1)由直线方程的斜截式，可得所求直线的方程为
y=4x-2，即4x-y-2=0；(2)由直线方程的点斜式，可得所求直
线的方程为y-3= (x-5)，即 x-y+3-5 =0.
类型 二 直线方程的互化
尝试解答下列题目，掌握直线方程的五种形式即各自的适用范围，并能够根据直线方程之间的联系解决有关问题.
1.在x轴,y轴上的截距分别为2,-3的直线的一般式方程为( )
A.3x+2y-6=0 B.3x-2y-6=0
C.3x+2y+6=0 D.3x-2y+6=0
2.设直线l的方程(m2-2m-3)x+(2m2+m+1)y-2m+6=0，根据下列条件分别确定m的值：
(1)l在x轴上的截距为-3.(2)l的斜率为1.
【解题指南】1.根据截距式写出直线的方程，再化成一般式.
2.(1)令y=0得出l在x轴上的截距.(2)把直线方程的一般式化成斜截式，根据题中的条件得出关于m的方程，从而求出m的值.
【解析】1.选B.由直线方程的截距式，可知所求直线的方程
为 整理得3x-2y-6=0.
2.(1)令y=0，得
所以 =-3，解得m1=- ,m2=3(舍去)，故当m=-
时，l在x轴上的截距为-3.
(2)直线l的方程可化为 所以
解得m1=- ,m2=1，故当m=- 或1时，直
线l的斜率为1.
【互动探究】把题2(1)“l在x轴上的截距为-3”改为“l在y轴
上的截距为-3”，求m的值.
【解析】令x=0，得 所以
解得 故当 时，l在y轴上的截距为-3.
【技法点拨】直线方程互化的两点说明
(1)直线的一般式可以表示任何直线，但特征不明显，解决问题时，把直线的一般式化成其他形式.
(2)求直线的一般式方程，通常根据题中的条件求出对应形式的方程，再化为一般式.
类型 三 直线一般式方程的应用
　　尝试解答下列题目,体会用直线的一般式解决直线位置关系的过程,归纳总结用一般式解决有关问题的方法.
1.已知点A(2,2)与直线l：3x+4y-20=0,
(1)过点A且与直线l平行的直线的方程为　　　　　　.
(2)过点A且与直线l垂直的直线的方程为　　　　　　.
2.已知直线l的方程为(m+1)x+y+2-m=0(m∈R),
若直线l不经过第二象限,求实数m的取值范围.
【解题指南】1.根据两直线平行与垂直时方程系数之间的关系设出含参数的直线方程,由题意得出参数的值,从而得出所求直线的方程.
2.利用直线的斜率与截距的范围,得出关于m的不等式组求解.
【解析】1.(1)设所求直线的方程为3x+4y+c=0,
因为点A(2,2)在直线上,所以3×2+4×2+c=0,
所以c=-14,
所以所求直线的方程为3x+4y-14=0.
(2)设所求直线的方程为4x-3y+n=0,
因为点A(2,2)在直线上,所以4×2-3×2+n=0,
所以n=-2,
所以所求直线的方程为4x-3y-2=0.
答案：(1)3x+4y-14=0　(2)4x-3y-2=0
2.把直线方程(m+1)x+y+2-m=0化为y=-(m+1)x+m-2，
因为直线l不经过第二象限，
所以
【技法点拨】与已知直线平行和垂直的直线的求法
(1)当直线l1,l2平行时,若l1：Ax+By+C1=0,根据平行的等价条件,可设直线l2：Ax+By+C2=0,且C1≠C2.
(2)当直线l1,l2垂直时,若l1：Ax+By+C1=0,根据垂直的等价条件,可设直线l2：Bx-Ay+C2=0.
提醒：在解决有关直线平行与垂直的问题时,注意直线的斜率存在条件的讨论.
【变式训练】已知直线l1：(a+2)x+(1-a)y-3=0与l2：(a-1)x
+(3+2a)y+2=0,求下列情况下a的值.
(1)直线l1,l2平行.(2)直线l1,l2垂直.
【解析】(1)由l1∥l2得(a+2)·(3+2a)-(a-1)(1-a)=0,整理得3a2+5a+7=0,无解.
(2)由l1⊥l2得(a+2)(a-1)+(1-a)·(3+2a)=0,
解得a=±1.
【拓展延伸】利用一般式直线方程判断直线位置关系的方法
若直线l1：A1x+B1y+C1=0
l2：A2x+B2y+C2=0 则：
(1)当A1B2-A2B1≠0时,l1与l2相交.
(2)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0时,l1∥l2.
(3)当A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1=0时,l1与l2重合.
(4)特别地,当A1A2+B1B2=0时,l1⊥l2.
【拓展类型】定点直线系 
　　尝试解答下列问题,体会定点直线系的用法,并能够利用定点直线系的有关结论解决有关问题.
1.若直线mx-y+(2m+1)=0恒过一定点,则此定点是(　　)
A.(-2,1) B.(2,1) C.(1,-2) D.(1,2)
2.求证：直线l：(k+1)x-y-2k-1=0恒过第一象限.
【解题指南】1.利用直线的点斜式方程,求出直线恒过的定点.
2.利用直线恒经过的定点证明结论.
【解析】1.选A.把直线mx-y+(2m+1)=0,化为点斜式得y-1
=m(x+2),所以直线过点(-2,1).
2.方法一：直线l：(k+1)x-y-2k-1=0,化为点斜式得y-1=
(k+1)(x-2),可知直线恒过点(2,1).而点(2,1)在第一象限,所以直线l恒过第一象限.
方法二：把直线转化为斜截式,得y=(k+1)x-(2k+1),
①若k+1>0,则直线过第一象限;
②若k+1=0,则k=-1,此时,直线的方程为y=1,过第一象限;
③若k+1<0,则k<-1,-(2k+1)>1,即直线与y轴交于正半轴,所以直线过第一象限.
综上可知直线恒过第一象限.
【技法点拨】证明直线过定点的方法
(1)把直线的方程转化为点斜式,从而得出直线恒过的定点.
(2)将直线方程变形,把x,y看作参数的系数,利用此式对任意实数都成立,故需系数为0,解方程组可得x,y的值,即得直线过的定点.
1.经过点A(-4,7),且倾斜角为45°的直线的一般式方程为
(　　)
A.x-y-11=0 B.x+y-11=0
C.x-y+11=0 D.x+y+11=0
【解析】选C.因为直线倾斜角为45°,所以直线的斜率k=1,所以直线的点斜式方程为y-7=x-(-4),整理得x-y+11=0.
2.直线3x+y+6=0的斜率为k,在y轴上的截距为b,则(　　)
A.k=3,b=6 B.k=-3,b=-6
C.k=-3,b=6 D.k=3,b=-6
【解析】选B.把直线3x+y+6=0转化为斜截式,得y=-3x-6,所以直线的斜率k=-3,在y轴上的截距b=-6.
3.直线l1：ax-y+b=0,l2：bx+y-a=0(ab≠0)的图象只可能是下
图中的(　　)

【解析】选B.利用直线的斜率与截距分情况讨论判断.
4.直线l：mx+y-1=0经过第一、二、三象限,则实数m的取值范围是(　　)
A.R B.(0,+∞)
C.(-∞,0) D.[1,+∞)
【解析】选C.直线l的斜率k=-m,直线l的倾斜角为锐角,则k>0,所以-m>0,所以m<0.
5.已知直线的斜率为 ，且和坐标轴围成面积为3的三角形，
则该直线的方程为________.
【解析】设直线的方程为 因为直线的斜率k＝ ，
所以 又因为 |ab|＝3，所以
所以所求直线的方程为x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0.
答案：x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0
6.已知直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等,并且与两坐标轴围成的三角形的面积为24,求直线l的方程.
【解析】直线3x+4y-7=0的斜率为 ,
因为直线l与直线3x+4y-7=0的倾斜角相等,
所以kl= .
设直线l的方程为y= x+b,
令y=0,则
因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为24，
所以 ，
所以b=±6，
所以直线l的方程为
即直线l的方程为3x+4y+24=0
或3x+4y-24=0.