3.2.3 直线的一般式方程
我们共学习了哪几种直线方程的形式?
点斜式
斜截式
两点式
截距式
Ax+By+C=0(A,B不同时为0）
我们把关于x,y的二元一次方程
叫做直线的一般式方程，简称一般式.
一般式适用于任意一条直线.
探究1：直线的一般式方程
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都是关于x，y的方程，上述四种直线方程，能否写成如Ax+ By+C=0（A,B不同时为0）的统一形式？
点斜式：
探究2：一般式方程与其他形式方程的转化
斜截式：y=kx+b kx-y+b=0
两点式：
（y1-y2）x+(x2-x1)y+ x1y2-x2y1=0
截距式： bx+ay-ab=0
例1 已知直线经过点A（6，- 4），斜率为 ，求直线的点斜式和一般式方程.
解：经过点A(6，-4),斜率为 的直线的点斜式
方程为
化成一般式，得4x+3y-12=0.
特别：对于直线方程的一般式，一般作如下约定： x的系数为正，x,y的系数及常数项一般不出现分数，一般按含x项、y项、常数项的顺序排列.
例2 把直线l的一般式方程x-2y+6=0化成斜截式，求出直线l的斜率以及它在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
解：将原方程化成斜截式得
因此，直线l的斜率 ，它在y轴上的截距是3，
在直线l的方程x-2y+6=0中，
令y=0，可得 x=-6，即直线l在x轴上的截距是-6.
例3 已知直线l1：ax+(a+1)y-a=0和 l2：(a+2)x+2(a+1)y-4=0，若l1//l2，求a的值.
【总结】
利用一般式解决平行与垂直问题策略
已知直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.
(1)l1∥l2⇔A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0
(或A1C2-A2C1≠0).
(2)l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0.
(2)可利用如下待定系数法:
与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0,再由直线所过的点确定C1;
与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为
Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.
1.若直线l在x轴上的截距为-4，倾斜角的正切值为1，
则直线l的点斜式方程是___________.
直线l的斜截式方程是___________.
直线l的一般式方程是___________.
y-0=x+4
y=x+4
x-y+4=0
解：(1)x+2y-4=0.
2.根据下列条件，写出直线的一般式方程：
(2)y-2=0.
(3)2x-y-3=0.
(4)x+y-1=0.
5
-5
3.求下列直线的斜率以及在y轴上的截距，并画出图形.
例.直线l的方程为Ax+By+C=0,若l过原点和第二、四象限,则( )
A.C=0,B>0 B.C=0,B>0,A>0
C.C=0,AB<0 D.C=0,AB>0
【解析】选D.直线过原点,则C=0,又过第二、四象限,所以斜率为负值,即
所以C=0,AB>0.
4.已知线段PQ两端点的坐标分别为P(-1，1)和
Q(2，2)，若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点，
求实数m的取值范围.
解：如图所示，直线l:x+my+m=0过定点
A(0，-1)，当m≠0时，
解得 或 当m=0时，直线l的方程为x=0，与线段PQ有交点，所以，实数m的取值范围为
【例】若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0
和(5a-2)x+(a+4)y-7=0互相垂直,则a的值为————
【解析】由题意,(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,
解得a=0或a=1.
答案:0或1
【例】当a为何值时,直线2x+3ay+1=0与
直线(a-2)x-ay-1=0平行？
【解析】方法一：当a=0时,两直线重合,不合题意.
当a≠0时,若两直线平行,则有
解得 经检验 时两直线平行.
方法二：若两直线平行,则有2×(-a)-3a(a-2)=0,解得a=0或
经检验 时两直线平行.
练习.使直线ax+2y+3a=0和直线3x+(a-1)y=a-7平行的a的值为________.
【解析】(1)若a-1=0,即a=1时，直线为：x+2y+3=0和直线3x=-6,此时两直线不平行，故a=1时两直线不平行.
(2)当a≠1时，由题意， 解得a=3.
答案：3
练习.已知两直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,当m为何值时,直线（1）l1∥l2（2）l1⊥l2?
解.方法一：当m=0时,l1：x+6=0,l2：2x-3y=0两直线既不平行
也不垂直；当m≠0时,
l1：y= l2：
若l1∥l2,则 解得m=-1；

若l1⊥l2,则 解得
方法二：l1∥l2等价于1×3-m(m-2)=0且1×2m-6(m-2)≠0,解
得m=-1；l1⊥l2等价于1·(m-2)+3m=0,解得
直线方程的综合应用

1.设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为　　　　.
【解析】1.把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不
过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且直线在y轴上的截
距大于等于零.即
解得a≥1.所以a的取值范围为[1,+∞).
答案：[1,+∞)
例.若方程(m2-3m+2)x+(m-2)y-2m+5=0表示直线,
(1)求实数m的范围.(2)若该直线的斜率k=1,求实数m的值.
【解析】(1) 由 解得m=2,
若方程表示直线，则m2-3m+2与m-2不能同时为0，
故m≠2.
(2)由 解得m=0.
例.如果直线l经过点P(2,1),且与两坐标轴围成的三角形面积为S.若这样的直线l有且只有2条,求S的取值范围.
2.设直线l的方程为 则 即
则a· =±2S,得a2-2Sa+4S=0或a2+2Sa-4S=0,
后一个方程Δ>0恒成立,肯定有两个不相等的实数根,若这样
的直线l有且只有2条,则前一个方程一定无实数根,Δ′=(2S)2
-4·4S<0,解得01.直线方程的一般式Ax+By+C=0（A，B不同时为0）
2.直线方程的一般式与特殊式的互化.
3.两条直线平行与垂直的判定.