直线与平面
垂直的性质
高中数学必修2
第一章立体几何初步
教学目的
使学生掌握直线与平面垂直的性质：垂直于同一平面的两条直线平行，并会用性质定理解答问题。
教学重点：直线与平面垂直的性质及其应用。
教学难点：例4的教学。
a
b
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ，
那么a∥b吗？
观察右图的长方体：
a⊥α
b⊥β
}
a∥b
在初中我们学过：“在平面内，如果两条直线同垂直于另一条直线，那么这两条直线平行。”
请问在空间中有相同或者类似的结论吗？
一、直线与平面的性质
一般地，如果直线a⊥平面α，直线b⊥平面α ，
那么a∥b吗？
α
b
a
b’
o
已知：a⊥α,b⊥α
求证：a∥b
证明：假设a和b不平行，设b与α交于点0,b’是经过点0
与α平行的直线
∵a∥b’ 且 a⊥α
∴b’⊥ α
∵过一点作一平面的垂线有且只有一条
∴b 与 b’重合
∴a∥b
定理6.3 如果两条直线同垂直于一个平面，
那么这两条直线平行
a⊥α
b⊥α
}
a∥b
（直线和平面垂直的性质定理）
α
b
a
由这个定理可知：要证明两直线平行，可以寻找
一个平面，使这两条直线同垂
直于这个平面即可
例1、如图，在几何体ABCDE中，BE和CD都垂直于平面ABC，
且BE=AB=2，CD=1，点F是AE的中点
求证：DF∥平面ABC
A
B
C
D
E
F
H
证明：作AB的中点G，连接FG、GC
∵BE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC
∴BE∥CD
又∵GF∥BE 且GF＝1
∴GF∥CD 且 GF＝CD
∴四边形CDFG为平行四边形
∴DF∥GC 且
∴DF∥平面ABC
例2、正方体ABCD-A1B1C1D1中，EF与异面直线AC、A1D都垂直且相
交，分别交AC、A1D于E、F
求证：EF∥BD1
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
证明：连接A1C1、C1D、B1D1、AD1
∵AC∥A1C1 且EF⊥AC
∴EF⊥A1C1
又EF⊥A1D
∴EF⊥平面A1C1D
∵AB⊥A1D 且AD1⊥A1D
∴A1D⊥平面ABD1
∴BD1⊥A1D 同理可证BD1⊥A1C1
∴BD1⊥平面A1C1D
∴EF∥BD1
问题提出
1.直线与平面垂直的定义是什么？如何判定直线与平面垂直？
2.直线与平面垂直的判定定理，解决了直线与平面垂直的条件问题；反之，在直线与平面垂直的条件下，能得到哪些结论？
知识探究（一）直线与平面垂直的性质定理
思考1:如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？
思考2:如果直线a，b都垂直于同一条直线l，那么直线a，b的位置关系如何？
思考3:一个平面的垂线有多少条？这些直线彼此之间具有什么位置关系？
思考4:如果直线a，b都垂直于平面α，由观察可知a//b，从理论上如何证明这个结论？
思考5：根据上述分析，得到一个什么结论？
定理 垂直于同一个平面的两条直线平行
思考1:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//a，则b与α的位置关系如何？为什么？
知识探究（二）直线与平面垂直的性质探究
思考2:设a，b为直线，α为平面，若a⊥α，b//α，则a与b的位置关系如何？为什么？
思考3:设l为直线，α，β为平面，若l⊥α，α//β，则l与β的位置关系如何？为什么？
思考4:设l为直线，α、β为平面，若l⊥α，l⊥β，则平面α、β的位置关系如何？为什么？
理论迁移
a
b
（2）若 ，求证：MN 面PCD
作业:
P71练习：1，2.（做书上）
教后反思：