2.3.3直线与平面垂直的性质习题课
2．3.3 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1．已知 b⊥平面α，a⊂α， 则 a 与 b 的位置关系是(
)
A．a∥b
B．a⊥b
B
C．a 与 b 垂直相交
D．a 与 b 垂直且异面
2．下列命题中，真命题的个数是(
)
C
①和一条直线成等角的两平面平行；②和两条异面直线都

平行的两平面平行；③和两相交直线都平行的两平面平行．
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：①假，②、③真．
3．下面四个命题，其中真命题的个数为(
)
B
①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这
条直线和这个平面垂直；②过空间一点有且只有一条直线和已
知平面垂直；③一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面
内的所有直线都不垂直；④垂直于同一平面的两条直线平行．
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
4．两个平面互相垂直，一条直线和其中一个平面平行，则

这条直线和另一个平面的位置关系是______________________．
解析：②、④是真命题．
相交、平行、在平面内
重点
线面、面面垂直的性质定理
1．线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行

(线面垂直→线线平行)．

2．面面垂直性质定理①：两个平面垂直，则一个平面内垂

直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号语言表示为：若α⊥

β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l，则a⊥β(面面垂直→线面垂直)．

3．面面垂直性质定理②：如果两个平面互相垂直， 那么

经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个
平面内．
直线与平面垂直的性质定理的简单应用
例 1：如图 1，在四面体 P－ABC 中，若 PA ⊥BC，PB⊥AC，
求证：PC⊥AB.
图 1
点评：从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在
解(证)题中的作用．
1－1.已知 a、b 是两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，
a⊥α，b⊥β，则下列命题中不正确的是(
)
B
A．若 a 与 b 相交，则α与β相交

B．若α与β相交，则 a 与 b 相交

C．若 a∥b，则α∥β

D．若α⊥β，则 a⊥b
解析：α与β相交，a 与 b 可能是异面直线．
1－2.α、β是两个不同的平面，m、n 是α、β之外的两条不同
的直线，给出以下四个论断：
①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.
以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认
为正确的一个命题___________.
解析：答案不唯一，如：②③④→①也正确．
①③④→②
图 2
面面垂直→线面垂直．
2－1.如图 3，四棱锥 V－ABCD 的底面为矩形，侧面 VAB
⊥底面 ABCD，且 VB⊥平面 VAD.
求证：平面 VBC⊥平面 VAC.
图 3
图 4
3 －1. 已知 PA ⊥矩形 ABCD 所在平面，平面 PDC 与平面
ABCD 成 45°角，M、N 分别为 AB、PC 的中点．
求证：平面 MND⊥平面 PDC.
例 4：证明：如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么
它们的交线垂直于第三个平面．
错因剖析：找不准辅助线，无从下手．
图 6
证法二：如图 6，在α内作直线 m 垂直于α与γ的交线，在β

内作直线 n 垂直于β与γ的交线，

∵α⊥γ，β⊥γ，

∴m⊥γ，n⊥γ.

∴m∥n.又 n⊂β，

∴m∥β，∴m∥l，∴l⊥γ.
图 7
点评：证法一、证法二都是利用“两平面垂直时，在一个
平面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面”这一性
质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线．这
是证法一、证法二的关键．
证法三是利用“如果两个平面互相垂直，那么经过第一个
平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内”这
一性质，添加了 l′这条辅助线，这是证法三的关键．

通过此例，体会两平面垂直时，添加辅助线的方法．
)
D
4－1.(2010 年山东)在空间，下列命题正确的是(

A．平行直线的平行投影重合

B．平行于同一直线的两个平面平行

C．垂直于同一平面的两个平面平行

D．垂直于同一平面的两条直线平行