2.3.3直线与平面
垂直的性质
1. 直线和平面垂直的定义如何？
如果一条直线和一个平面相交,并且和这个平面内的任意一条直线都垂直,则称这条直线和这个平面垂直.其中直线叫做平面的垂线,平面叫做直线的垂面.交点叫做垂足.
一、知识回顾
2.直线与平面垂直的判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都
垂直，则该直线与此平面垂直。
图形表示
符号表示
关键：线不在多，相交则行
异面直线的夹角
求直线BA1和CC1所成角的度数。
（1）找
（2）求
∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1 的夹角
O
P
A
α
关键：过斜线上一点作平面的垂线
线面所成角
斜线
斜足
线面所成角
（锐角∠PAO）
射影
已知：SB=SC=6,AB=AC=3,SA=
（1）求证SA ⊥平面ABC
（2）求SB 和平面ABC的夹角
（1）找
（2）求
∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角
AB为SB在平面ABC内的射影
二面角
∠AOB即为二面角α-AB-β的
平面角
的
平面角
（1）找
（2）求
∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角
求直线BA1和CC1所成角的度数。
（1）找
（2）求
∠A1BB1即为异面直线A1B和CC1 的夹角
已知：SB=SC=6,AB=AC=3,SA=
（1）求证SA ⊥平面ABC
（2）求SB 和平面ABC的夹角
（1）找
（2）求
∠SBA即为直线SA和平面ABC的夹角
AB为SB在平面ABC内的射影
（1）找
（2）求
∠VDC即为二面角V—AB—C的平面角
如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1,BB1,CC1,DD1 所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？
二、新知探究
线面垂直的性质
线面垂直性质定理：
垂直于同一个平面的两条直线平行
√
√
√
╳
√
√
2.3.4 平面与平面垂直的性质
复习回顾：
（１）利用定义

［作出二面角的平面角，证明平面角是直角］


A
B
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直的判定
（1）如果平面α与平面β互相垂直，直线l在平面α内，那么直线l与平面β的位置关系有哪几种可能？
（2）观察黑板所在的平面和地面，它们是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直？
α
β
E
F
思考2 如图，长方体中，α⊥β,
(1)α里的直线都和β垂直吗？
(2)什么情况下α里的直线和β垂直？
与AD垂直
不一定
思考3
垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？
为什么？
垂直
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,
且BE CD=B
垂足为B.
∴AB⊥
则∠ABE就是二面角
的平面角.
证明:在平面 内作BE⊥CD,
平面与平面垂直的性质定理
符号表示:
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．
（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）
作用： ①它能判定线面垂直.
② 它能在一个平面内作与这个平面垂
直的垂线.
关键点：
①线在平面内.
②线垂直于交线.
思考4 设平面 ⊥平面 ，点P在平面 内，过点P作平
面 的垂线a，直线a与平面 具有什么位置关系?
a
a
直线a在平面 内
α
β
A
b
a
l
B
垂直
α
β
A
b
a
l
分析：寻找平面α内与a平行的直线.
解：在α内作垂直于 交线的直线b，
∵ ∴
∵ ∴a∥b.
又∵ ∴a∥α.
即直线a与平面α平行.
结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（ ）.
α
β
A
b
a
l
分析：作出图形.
（法二）
（法一）
在α内作直线a ⊥n
证法1：设
在β内作直线b⊥m
在γ内过A点作直线 a ⊥n，
证法2：设
在γ内过A点作直线 b⊥m，
同理
在γ内任取一点A（不在m,n上），
如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.
结论
判断线面垂直的两种方法：
①线线垂直→线面垂直；
②面面垂直→线面垂直.
如图：
两个平面垂直应用举例
例题1  如图4，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的动点，过动点C的直线VC垂直于⊙O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线 DE与平面VBC有什么关系？试说明理由．
解：由VC垂直于⊙O所在平面，知VC⊥AC，VC⊥BC，即 ∠ACB是二面角A-VC-B的平面角．由∠ACB是直径上的圆周角，知 ∠ACB =90°。
因此，平面 VAC⊥平面VBC．由DE是△VAC两边中点连线，知 DE∥AC，故DE⊥VC．由两个平面垂直的性质定理，知直线DE与平面VBC垂直。
注意：本题也可以先推出AC垂直于平面VBC，再由DE∥AC，推出上面的结论。
例2．S为三角形ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC。
求证：AB⊥BC。
证明：过A点作AD⊥SB于D点.
∵平面SAB ⊥ 平面SBC, ∴ AD⊥平面SBC，
∴ AD⊥BC.
又∵ SA ⊥ 平面ABC， ∴SA ⊥ BC. AD∩SA=A
∴BC ⊥ 平面SAB.
∴BC ⊥AB.
AB是⊙O的直径,点C是圆上异于A,B的任意一点,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求证:AF⊥平面PBC。
证明: ∵AB是⊙O的直径
∴AC⊥CB
∴PA⊥BC
∴BC⊥平面PAC
∴平面PBC⊥平面PAC
∴AF⊥平面PBC
练习2：如图，以正方形ABCD的对角线AC为折痕，使△ADC和△ABC折成相垂直的两个面，求BD与平面ABC所成的角。
A
B
C
D
D
A
B
C
O
O
折成
3.如图，平面AED ⊥平面ABCD，△AED是等边三角形，四边形ABCD是矩形，
（1）求证：EA⊥CD
M
（2）若AD＝1，AB＝ ，求EC与平面ABCD所成的角。
(2012·北京模拟)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.

(1)求证：BM∥平面ADEF；
(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.
【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.
在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，
所以MN∥CD，且MN= CD.
由已知AB∥CD，AB= CD，
所以MN∥AB,且MN=AB,
所以四边形ABMN为平行
四边形.所以BM∥AN.
又因为AN平面ADEF，且BM 平面ADEF，
所以BM∥平面ADEF.
(2)因为四边形ADEF为正方形，
所以ED⊥AD，
又因为平面ADEF⊥平面ABCD，
且平面ADEF∩平面ABCD=AD.
又因为ED 平面ADEF，
所以ED⊥平面ABCD.
所以ED⊥BC.
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，
可得BC= ，
在△BCD中，BD=BC= ，CD=4，所以BC⊥BD，
BD∩ED=D,
所以BC⊥平面BDE，
又因为BC平面BCE，
所以平面BDE⊥平面BEC.
［总结提炼］
☆ 已知面面垂直易找面的垂线，且在某一个平面内
☆ 解题过程中应注意充分领悟、应用
☆ 证明面面垂直要从寻找面的垂线入手
☆ 理解面面垂直的判定与性质都要依赖面面垂直的定义
☆ 定义面面垂直是在建立在二面角的定义的基础上的
线面垂直
面面垂直
线线垂直
面面垂直
线面垂直
线线垂直
线线垂直
线面垂直
线线平行
面面平行
面面垂直
垂直、平行关系小结
2.面面垂直的性质推论：
1.平面与平面垂直的性质定理：
a∥α