第二章
2.3.3　直线与平面垂直的性质
1．直线垂直于平面的定义：如果一条直线垂直于一个平面内的__________一条直线，则称这条直线垂直于这个平面．
2．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线垂直于一个平面内的两条________直线，则这条直线垂直于这个平面．
●知识衔接
任意
相交
3．如图，长方体AC1中，二面角D1－AB－D的平面角是(　　)
A．∠D1AB
B．∠D1BA
C．∠D1AD
D．∠D1DA
[答案]　C
4．把等腰Rt△ABC沿斜边BC上的高线AD折成一个二面角，此时∠BAC＝60°，那么此二面角的大小是________.
[答案]　90°
直线与平面垂直的性质定理
●自主预习
平行
a∥b
平行
如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈平面ABCD，F∈平面A1B1C1D1，且EF⊥平面ABCD．
求证：EF∥AA1.
[分析]　只需证明AA1⊥平面ABCD即可．
[证明]　∵AA1⊥AB，AA1⊥AD，且AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，
∴AA1⊥平面ABCD．
又∵EF⊥平面ABCD，
∴EF∥AA1.
规律总结：证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面．
如图，正方体A1B1C1D1－ABCD中，EF与异面直线AC，A1D都垂直相交．求证：EF∥BD1.
利用线面垂直的性质证明平行问题
●互动探究
[探究]　要证明EF∥BD1，转化为证明EF⊥平面AB1C，BD1⊥平面AB1C．
规律总结：当题中垂直条件很多，但又需证两直线平行关系时，就要考虑直线和平面垂直的性质定理，从而完成垂直向平行的转化．
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．

求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．
[分析]　(1)证明MN∥AD1，转化为证明AD1⊥平面A1DC，MN⊥平面A1DC．
(2)利用平行公理和三角形的中位线定理证四边形AMNO为平行四边形．
[证明]　(1)因为四边形ADD1A1为正方形，所以AD1⊥A1D．
又因为CD⊥平面ADD1A1，
所以CD⊥AD1.
因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC．
又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.
(2)如图，设AD1与A1D的交点为O，连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC，
已知α∩β＝AB，PQ⊥α于Q，PO⊥β于O，OR⊥α于R.
求证：QR⊥AB．
[探究]　证AB与QR所在的平面垂直，再根据线面垂直的定义，即可证明QR⊥AB．
利用线面垂直的性质证明垂直问题
如图，已知矩形ABCD，SA⊥平面AC，AE⊥SB于E，EF⊥SC于F.
(1)求证：AF⊥SC；
(2)若SD交平面AEF于G，求证：AG⊥SD．
[分析]　(1)要证明AF⊥SC，转化成证明SC⊥平面AEF，充分利用其中的垂直关系．
(2)要证AG⊥SD，转化成AG⊥平面SDC．
[证明]　(1)因为SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，所以SA⊥BC．
因为ABCD是矩形，所以AB⊥BC．
又SA∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB．因为AE⊂平面SAB，所以BC⊥AE.
又SB⊥AE，SB∩BC＝B，所以AE⊥平面SBC．
因为SC⊂平面SBC，所以AE⊥SC．
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，所以SC⊥平面AEF.
所以AF⊥SC．
(2)因为SA⊥平面AC，所以SA⊥DC．
又AD⊥DC，SA∩AD＝A，所以DC⊥平面SAD．因为AG⊂平面SAD，所以DC⊥AG.
又由(1)有SC⊥平面AEF，AG⊂平面AEF.
所以SC⊥AG.又SC∩DC＝C，所以AG⊥平面SDC．因为SD⊂平面SCD，
所以AG⊥SD．
如右图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知DC＝DD1＝2AD＝2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
(1)求证：D1C⊥AC1；
线面垂直的性质的综合应用
●探索延拓
(2)设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
[探究]　(1)关键先证明线面垂直，然后证明线线垂直；(2)关键构造中位线得线面平行．
[解析]　(1)证明：连接C1D．
∵DC＝DD1，∴四边形DCC1D1是正方形，∴DC1⊥D1C．
∵AD⊥DC，AD⊥DD1，DC∩DD1＝D，
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C⊂平面DCC1D1，∴AD⊥D1C．又AD∩DC1＝D，∴D1C⊥平面ADC1.
又AC1⊂平面ADC1，∴D1C⊥AC1.
(2)如图，连接AD1、AE、D1E，
设AD1∩A1D＝M，BD∩AE＝N，连接MN.
∵平面AD1E∩平面A1BD＝MN，
要使D1E∥平面A1BD，
须使MN∥D1E，又M是AD1的中点，
∴N是AE的中点．
又易知△ABN≌△EDN，∴AB＝DE.
即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．
规律总结：线面垂直与平行的相互转化：
(1)空间中直线与直线垂直、直线与平面平行、直线与直线平行可以相互转化，每一种垂直与平行的判定都是从某种垂直与平行开始转化为另一种垂直与平行，最终达到目的．
如图，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，且∠DAB＝60°，AD＝AA1，F为棱BB1的中点，M为线段AC1的中点．
(1)求证：MF∥平面ABCD；
(2)求证：平面AFC1⊥平面ACC1A1.
(2)连接BD，
由直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，
可知A1A⊥平面ABCD．
又∵BD⊂平面ABCD，∴A1A⊥BD．
∵四边形ABCD是菱形，故AC⊥BD．
又∵AC∩A1A＝A，
AC，A1A⊂平面ACC1A1，
∴BD⊥平面ACC1A1.
在四边形DANB中，DA∥BN，且DA＝BN，所以四边形DANB为平行四边形，故NA∥BD．
∴NA⊥平面ACC1A1.
又NA⊂平面AFC1，
∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.
已知a⊄α，a⊥b，b⊥α，求证a∥α.
[错解]　∵b⊥α，a⊥b，∴a⊂α或a∥α.
又∵a⊄α，∴a∥α.
[错因分析]　推理逻辑不严密，理由与结论衔接不恰当．
[思路分析]　本题垂直关系比较分散，不能按平面几何的方法进行论证，应将其集中到一个平面内，然后用平面几何知识解决．
易错点　证明说理过程不清晰，理由与结论衔接不恰当
●误区警示
[正解]　如图，在a上任取一点A，过点A作直线b′∥b.设b′∩α＝B，过直线a，b′作平面β，β∩α＝l.
∵b⊥α，∴b⊥l.
又∵b⊥a，b∥b′，
∴b′⊥a，b′⊥l.
又∵a，l同在β内，
∴a∥l.
又∵a⊄α，l⊂α，∴a∥α.
如图，设平面α与β相交于直线l，AC⊥α，BD⊥β，垂足分别为C、D，直线AB⊥AC，AB⊥BD，

求证：AB∥l.
[证明]　∵AC⊥α，BD⊥β，α∩β＝l，∴AC⊥l，BD⊥l；
过A作AE⊥β垂足为E，则AE∥BD，
∵AB⊥BD，∴AB⊥AE，∴AB⊥平面ACE；
∵AE⊥β，α∩β＝l，∴AE⊥l，
又AC⊥l，∴l⊥平面ACE，∴AB∥l.
规律总结：要证线线平行，不具备公理4的条件，没有线面平行、面面平行关系好用，给出的条件多为垂直关系，于是想到应用线面垂直的性质定理，只须找到这样一个平面γ、l⊥γ、AB⊥γ，于是作辅助线围绕找γ展开．
1．下列说法中不正确的是(　　)
A．若一条直线垂直于一个三角形的两边，则一定垂直于第三边
B．同一个平面的两条垂线一定共面
C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内
D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
[答案]　D
2．已知直线a，b，平面α，且a⊥α，下列条件中，能推出a∥b的是(　　)
A．b∥α B．b⊂α
C．b⊥α D．b∩α＝A
[答案]　C
3．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，则下列四个说法中正确的是(　　)
①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.
A．②④ B．①②
C．③④ D．①③
[答案]　D
4.已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝________.
[答案]　6
[解析]　因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以四边形AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.
5.如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE＝AB＝2a，CD＝a，F是BE的中点．

求证：(1)DF∥平面ABC；
(2)AF⊥BD．
(2)由(1)知CG⊥GF，又CG⊥AB，
∴CG⊥面ABE，
∴CG⊥AF，DF∥CG，∴AF⊥DF
在Rt△ABE中，AF⊥BE，
∴AF⊥面BDF，∴AF⊥BD．