2.3.3 直线与平面垂直的性质
2.3 直线、平面垂直的判定及其性质
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
复习回顾
1、直线与平面垂直的定义
2、直线与平面垂直的判定
复习回顾
1.利用判定定理我们证明了一个重要的结论，也请一个同学叙述一下．
如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面．
2.请将上述命题用数学符号表示出来.
若a∥b，a⊥α，则b⊥α．
这个例题可以当作直线和平面垂直的又一个判定定理。现在请同学们交换这个定理的题设和结论，写出新的命题．
若a⊥α，b⊥α，则a∥b．
下面就让我们看看这个命题是否正确？
如图，已知直线a,b和平面α，如果a⊥α,b⊥α那么，直线a,b一定平行吗？
研探新知:
请同学们写出已知、求证并结合题意画出图形.
已知：a⊥α， b⊥α 求证：a∥b．
分析：a、b是空间中的两条直线，要证明它们互相平行，一般先证明它们共面，然后转化为平面几何中的平行判定问题，但这个命题的条件比较简单，想说明a、b共面就很困难了，更何况还要证明平行．
我们能否从另一个角度来证明，比如，a、b不平行会有什么矛盾？这就是我们提到过的反证法．
问:你知道用反证法证明命题的一般步骤吗？
答：否定结论→推出矛盾→肯定结论
引导：第一步，我们做一个反面的假设，假定b与a不平行，现在应该要推出矛盾，从已知条件中的垂直关系，让我们想起例题1，在这个例题的已知条件中，平面有一条垂线，垂线有一条平行线，因此需要添加一条辅助线．层层推进，得出证明过程如下:
证明：假定b与a不平行
设b∩α＝O，b′是经过点O
与直线a平行的直线，
∵ a∥b′，a⊥α，∴b′⊥α．
所以,经过同一点O的两条直线b，b′都垂直于平面α。
显然这是不可能的．
因此，a∥b．
直线与平面垂直的性质
（1）基本性质
一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线
m
l
（2）性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行

｝
（3）性质定理
两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；
｝

（4）性质定理
垂直于同一条直线的两个平面互相平行
（5）性质定理
两个平行平面中的一个垂直于一条直线，
则另一个平面也垂直于这条直线
l
α
β
｝
｝
练习
1、如图PA⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是 （ ）
A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PO⊥BD D. PA⊥BD
2、已知a、b是两条不重合的直线，
α、β、γ是三个两两不重合的
平面，给出下列四个命题：
若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
 若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
若α∥β，aα，bβ，则a∥b；
若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则
a∥b。其中正确命题的序号是 （ ）

A.  B.  C.  D. 
O
C
D
由此，我们得到：
直线和平面垂直的性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
指出:判定两条直线平行的方法很多，直线与平面垂直的性质定理告诉我们，可以由两条直线与一个平面垂直判定两条直线平行。直线与平面垂直的性质定理揭示了“平行”与 “垂直”之间的内在联系。
学习了直线与平面垂直的判定定理和性质定理，我们再来看看点到平面的距离的定义：
从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离．
·
例题分析,巩固新知:
例1：设直线a,b分别在正方体
中两个不同的平面内，欲使a//b，a,b应满足什么条件？
分析：结合两直线平行的判定定理，考虑a，b满足的条件。
解：a，b满足下面条件中的任何
一个，都能使a∥b，
（1）a，b同垂直于正方体一个面；
（2）a，b分别在正方体两个相对的
面内且共面；
（3）a，b平行于同一条棱；
（4）如图，E，F，G，H分别为B'C’，CC’，AA’，AD的中点，EF所在的直线为a，GH所在直线为b，等等。
三垂线定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面的
一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直
三垂线定理的逆定理
在平面内的一条直线，如果它和这个平面
的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在平面
内的射影垂直
巩固深化、发展思维
思考:已知平面α、β和直线a，若α⊥β，
a⊥β，则直线a与平面α具有什么位置关系？
归纳小结:
本节课，我们学习了直线和平面垂直的性质定理，以及点到平面的距离的定义．定理的证明用到反证法，证明几何问题常规的方法有两种：直接证法和间接证法，直接证法常依据定义、定理、公理，并适当引用平面几何的知识；用直接法证明比较困难时，我们可以考虑间接证法，反证法就是一种间接证法.