3.1.1方程的根与函数的零点
我们知道，令一个一元二次函数
的函数值y＝0，则得到一元二次方程
问题1　观察下表(一)，说出表中一元二次方程的实数根与相应的二次函数图象与x轴的交点的关系。
没有交点
(1,0)
x2-2x+3=0
x2-2x+1=0
(-1,0),(3,0)
x2-2x-3=0
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。
结 论:
无实数根
x1=x2=1
x1=-1,x2=3
y=x2-2x+3
y=x2-2x+1
y=x2-2x-3
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
若将上面特殊的一元二次方程推广到一般的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)及相应的二次函数y= ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点的关系，上述结论是否仍然成立？(观察表二)
问题2
△>0
△=0
判别式△ =
b2－4ac
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
函数的图象
与 x 轴的交点
△<0
(x1,0),(x2,0)
没有实根
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
(x1,0)
二次函数的图像与
Ｘ轴的交点与对应的一元二次方程的根的关系是否可以推广到一般情形？
结论：
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数.。
为什么？
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点（zero point)。
方程f(x)=0有实数根
函数零点的定义：
等价关系
结论：函数的零点就是方程f(x)=0的实数根，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的交点的横坐标.
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
在[－2,1]上，我们发现函数f(x)在区间（-2,1)内有零点x＝ _____,有f(－2)____0, f(1)____0得到
f(－2)·f(1) ______0(<或>)。
在[2,4]上，我们发现函数f(x)在区间（2,4)内有零点
x＝ ____，有f(2)____0,f(4) ___ 0得到
f(2)·f(4) ____ 0（<或>)。
观察对数函数f(x)=lgx的图象:
在[0.5 , 2.5] 内 f(0.1) _____0， f(2) ____ 0
f(0.1)·f(2) ______0(<或>)
函数f(x)在（0.1 , 2) 内有一个零点 x＝ ______，.
思考：函数在区间端点上的函数值的符号情况，与函数零点是否存在某种关系？
-1
>
<
<
3
<
>
<
<
>
<
1

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
注意:
零点存在性定理：
a
b
由表3-1和图3.1—3可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）
和图象（图3.1—3）
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例题1 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
a
b
x1
x2
x4
x3
c
d
e
y
x
练习：
1.利用函数图象判断下列方程有没有根，有几个根：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
（3） x2 ＝4x－4；
（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
2.利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)= －x3－3x+5；
（2）f(x)=2x · ln(x－2)－3；
（3）f(x)=ex－1+4x－4;
（4）f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x.
有
没有
有
没有
有
没有
有
没有
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下：
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。
1(1) －x2＋3x＋5＝0
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。
1(2) 2x(x－2)＝－3
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。
1(3) x2 ＝4x－4
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下：
它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
2(1)解：作出函数的图象，如下：
因为f(1)=1>0,f(1.5)=－2.875<0,
所以f(x)= －x3－3x+5在区间(1, 1.5)
上有零点。又因为f(x)是(－∞,＋∞）
上的减函数，所以在区间(1, 1.5)上有
且只有一个零点。
2(1) f(x)= －x3－3x+5
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
2(2)解：作出函数的图象，如下：
因为f(3)＝－3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)=
2x · ln(x－2)－3在区间(3,4)上有零点。又因为
f(x) =2x · ln(x－2)－3是(2，＋∞）上的增函数，
所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
2(2) f(x)=2x · ln(x－2)－3
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
2(3)解：作出函数的图象，如下：
因为f(0)≈－3.63<0,f(1)
＝1>0,所以f(x)= ex－1+4x－4
在区间(0,1)上有零点。又因
为f(x) = ex－1+4x－4是(－∞ ，
＋∞）上的增函数，所以在
区间(0,1)上有且只有一个零
点。
2(3) f(x)=ex－1+4x－4
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
2(4)解：作出函数的图象，如下：
因为f(－4)＝－4<0,f(－ 3)＝15>0,
f(－2)＝－2<0,f(2)＝－70<0, f(3)＝3>0,
所以f(x)= 3(x+2)(x － 3)(x+4)+x 在区间
(－4,－3 )、 (－3，－2,)、 (2,3 )上各有
一个零点。
2(4) f(x)=3(x+2)(x－3)(x+4)+x
利用函数的图象，指出下列函数零点所在的大致区间：
课堂小结：

１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系；
3、确定函数的零点的方法。
布置作业：
P102 习题3.1 Ａ组 第2题
补充作业： 1、求下 列函数的零点：(1)y=-x2+6x+7；