方程解法史话
问题探究
方程 3x+3=0的根与函数y=3x+3的图象有什么关系？
-1
1
2
-2
问题探究
我们如何对方程f(x)=0的根与函数y=f(x)的图象的关系作进一步阐述？
问题探究
方程 的根  和 函数的零点
我们知道，令一个一元二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y＝0，则得到一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）。
思考
一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
思考讨论
以a＞0为例
结论：一元二次方程的实数根就是
相应二次函数图象与x轴交点的横坐标．
归纳：
x1=-1，x2=3
x1=x2=1
无实数根
两个交点
(-1,0)，(3,0)
一个交点
(1,0)
没有交点
判别式Δ
Δ> 0
Δ= 0
Δ< 0
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
两个不相等的
实数根x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x1
x2
x1
(x1,0)，(x2,0)
(x1,0)
问题:其他函数与方程之间也有同样结论吗？请举例!
函数零点的定义：
对于函数y=f(x) 我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点（zero point)。
注意：
零点指的是一个实数。
互动交流
2、区别：
1、联系：
①数值上相等：求函数零点就是求方程的根.
②存在性相同：函数y=f(x)有零点
 方程f(x)=0有实数根
 函数y=f(x)的图象与x轴有交点
①零点对于函数而言，根对于方程而言．
②数目不一定相等
问题4:函数的零点与方程的根有什么联系和区别？
要解方程2-x=x，即2-x-x=0，只要求函数f(x)=2-x-x的零点!
数 学 建 构
方程f (x)=0
有实数根
函数y=f (x)
有零点．
函数y=f (x)的图
象与x轴有交点

△>0
△=0
判别式△ =
b2－4ac
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
函数的零点个数
△<0
两个
没有实根
没有
两个不相等
的实数根x1 、x2
有两个相等的
实数根x1 = x2
一个
探究
以a＞0为例
3、零点的求法
图像法
代数法
例1 求函数f（x）=lg(x-1)的零点
求函数零点的步骤：
(1)令f(x)=0;
(2)解方程f(x)=0；
(3)写出零点
学以致用
甲原来在河的北岸,现在在河的南岸,能断定甲过河了吗?过了几趟?
乙原来在河的北岸现在还在河的北岸,乙有没有过河?过了几趟?
问 题
甲
甲
观察与探究
甲
观察函数的图象并填空:
①在区间(a,b)上f(a)·f(b)_____0(“＜”或“＞”)．
在区间(a,b)上______(有/无)零点；
② 在区间(b,c)上f(b)·f(c) _____ 0(“＜”或“＞”)．
在区间(b,c)上______(有/无)零点；
③ 在区间(c,d)上f(c)·f(d) _____ 0(“＜”或”＞”)．
在区间(c,d)上______(有/无)零点；
有
<
有
<
有
<
零点存在性的探究：
问题5:在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a,b]上存在零点？
观察下面函数图象思考:
虽然函数f(x) 满足了f(-1)f(1)<0,但它在区间(-1,1)上却没有零点,为什么?
观察与探究

如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根。
函数零点存在性定理：
c
c
例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个零点. （ ）
（2）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且f (a) ·f(b) >0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点. （ ）
（3）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且在区间(a,b)内存在零点，则有 f (a) ·f(b) < 0 （ ）
（4）已知函数y=f (x)在区间[a,b] 满足f (a) ·f(b) < 0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点. （ ）
画图象举反例：
函数零点存在定理的三个注意点：
1 函数是连续的。
2 定理不可逆。
3 至少存在一个零点，不排除更多。
例3.
求证:函数f(x)= x3+x2+1在区间(-2，-1)上存在零点.
证明:
因为 f(-2)=(-2)3+(-2)2+1=-3<0
f(-1)=(-1)3+(-1)2+1=1>0
且函数f(x)的图象在区间[-2,-1]上是不间断的,
所以函数f(x)在区间(-2,-1)上存在零点
小结论
思考：能否确定函数y＝f(x)在区间(-2，-1)内存在几个零点？
f(-2) f(-1)<0
函数y=f(x)在区间[a,b]上图像连续且是单调函数且f(a)·f(b)<0
问该函数在区间（a，b）内有几个零点？
尝试画出满足条件的图形进行观察
研讨新知
只有一个
解法1：利用计算机作出函数的图像，然后判断与X轴交点的个数
例4 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)
零点存在性定理的应用：
由表可知f(2)<0，f(3)>0，从而f(2)·f(3)<0， 又f(x)在区间[2,3]上连续
∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表：
例4 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)
解法2
零点存在性定理的应用：
问题6:如何说明零点的唯一性？
-4
-1.3
1.1
3.4
5.6
7.8
10.0
12.1
14.2
f(x)=lnx+2x－ 6
解法3：
y=－2x +6
y= lnx
例4 求函数f(x)=lnx+2x－ 6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)
零点存在性定理的应用：
数形结合
lnx+2x－6=0的根
学以致用
∴ f(1)·f(2)<0 又f(x)在区间[1,2]上连续
∴函数f(x)在区间(1,2)内有零点
方法一：
∵ f(1)<0
f(2)>0
∴函数f(x)仅有一个零点
∵函数f(x)在定义域(-∞,+∞)内是增函数
方法二：
学以致用
归纳整理，整体认识
本节课你收获了什么？
一个关系：函数零点与方程根的关系:
两种思想：函数方程思想；数形结合思想．
三种题型：求函数零点、确定零点个数、
求零点所在区间．
归纳整理，整体认识
布置作业：
1．利用函数图象判断下列方程有几个根：
（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．
2．写出并证明下列函数零点所在的大致区间：
（1）f(x)=2xln(x-2)-3；
（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x
3．思考题：方程2-x =x在区间______内有解，如何求 出这个解的近似值？ 请预习下一节．