第三章 函数的应用

§3.1.1方程的根与函数的零点
一、引入课题
问题1：求下列方程的实数根
（如何解？会解吗？）
(1)方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
(2)方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
(3)方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
求下列方程的实数根，画出相应函数的简图，并求出函数图象与x轴交点的坐标。
探究1：
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
y= x2－2x+3
方程ax2 +bx+c=0
(a>0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a>0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)即( ,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
1.函数零点的定义:
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数 y=f(x)的零点(zero point).
二、新知学习
思考：函数的零点是不是点？
零点指的是一个实数。
2.等价关系
2.已知某函数 的图像如图所示，
则函数 的零点个数为
1.求下列函数的零点
答案：（1）x=-1;(2)x=2;(3)x1=1,x2=2;(4)x=2
5
练习
问：你是否发现了求函数零点的方法？
函数零点的求法：
代数法：求方程 的实数根；
几何法：对于不能用求根公式的方程，
可以将它与函数 的图象联系起来，
并利用函数的性质找出零点．
（1）在区间[-2,1]上有零点,
f(-2) 0, f(1) 0 ，
发现 f(-2)·f(1) 0
（填“>”或“<”)
（2）在区间[2,4]上有零点,
f(2) 0, f(4) 0 ，
发现 f(2)·f(4) 0
（填“>”或“<”)
观察二次函数f(x)=x2－2x－3的图象:
探究2：函数在某个区间上是否一定有零点？
>
<
<
<
>
思考：乘积小于零与函数存在零点有必然联系吗？
<
观察对数函数f(x)=lgx的图象:在包含零点的区间[0.5 , 1.5] 上是否有同样的结论？
在区间[0.5 , 1.5]上，
f(0.5)<0 ，f(1.5)>0 f(0.5)·f(1.5)<0
讨论：
具备什么条件，函数在区间内一定存在零点呢？
3.函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。

（1）这个定理前提有几个条件？
（2）“有零点”是指有几个零点？只有一个吗？
（3）在什么条件下，有且仅有一个零点？
（4）若函数 在区间内有零点，一定能
得出 吗？
（5）这个定理有什么作用？
讨论：
答：（1）条件有两个；（2）零点不一定有一个；
（3）函数是单调函数；（4）不一定；
（5）判断零点的存在，并找出零点所在的区间。
由表1和图2可知
f(2)<0,f(3)>0，
即f(2)·f(3)<0，
说明这个函数在区间(2,3)内
有零点。
由于函数f(x)在定义域
(0,+∞)内是增函数，所以
它仅有一个零点。
解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表1）
和图象（图2）
－4
－1.3069
1.0986
3.3863
5.6094
7.7918
9.9459
12.0794
14.1972
例 求函数f(x)=lnx+2x－6的零点个数。
三、例题讲解
法一
法二
由图可得两函数图象只有一个公共点，
所以函数有一个零点。
[来源:学科网ZXXK]
2.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间有零点（ ）
A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
B
3.方程2x+3x-7=0在下列哪个区间有实根（ ）
A.(-1，0) B.(0，1) C.(1，2) D.(2，3)
C
方程f(x)=0
的实数根
函数y=f(x) 的图象与x轴交点的横坐标
函数y=f(x)的零点
2.等价关系
四、小结
1.零点的定义
3.函数零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点。 即存在 c∈(a,b) ，使得 f(c) =0，这个c也就是方程 f(x)=0 的根。