第三章 函数的应用

3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
我国古代数学家已比较系统地解决了部分方程的求解的问题.如约公元50～100年编成的《九章算术》，就给出了求一次方程、二次方程和三次方程根的具体方法……

11世纪，北宋数学家贾宪给出了三次及三次以上的方程的解法。
13世纪，南宋数学家秦九韶给出了求任意次代数方程的正根的解法
今天我们来学习方程的根与函数的零点！
1.理解函数零点的概念，了解函数零点与方程根的关系.（难点）
2.掌握函数零点的判断方法并会判断函数零点的个数.(易错点）
3.会求函数的零点.（重点）
探究：下列一元二次方程的根与相应的二次函数的图象有何关系？
（1）方程x2-2x-3=0与函数y=x2-2x-3
（2）方程x2-2x+1=0与函数y=x2-2x+1
（3）方程x2-2x+3=0与函数y=x2-2x+3
方程
x2-2x+1=0
x2-2x+3=0
y=x2-2x-3
y=x2-2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=-1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(-1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2-2x-3=0
y=x2-2x+3
函数的图象
与x轴的交点
x
y
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
.
.
.
.
0
.
方程ax2+bx+c
=0(a＞0)的根
函数y=ax²+bx
+c(a＞0)的图象
判别式Δ=
b2－4ac
Δ＞0
Δ=0
Δ＜0
函数的图象
与x轴的交点
有两个相等的
实数根x1=x2
没有实数根
(x1,0),(x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1、
x2
一般结论
一般地，方程f(x)=0的实数根，也就是其对应函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标.
即方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x
叫做函数y=f(x)的零点.
函数零点的定义：
注意：
零点不是一个点
零点指的是一个实数
方程f(x)＝0有实数根
函数y＝f(x)的图象与x轴有交点
函数y＝f(x)有零点
方程 的根是函数 的图象与 轴的
交点的横坐标.
由此可知，求方程f(x)=0的实数根，就是求函数y= f(x)的零点.对于不能用公式法求根的方程f(x)=0来说，可以将它与函数y=f(x)联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根.
函数零点既是对应方程的根，又是函数图象与x轴交点的横坐标.
零点是对于函数而言，根是对于方程而言．
例1 函数f(x)=x(x－4)的零点为（ ）
A．(0，0)，(2，0) B．0
C．(4，0)，(0，0)， D．4，0
D
由x(x－4)=0得x=0或x=4.
注意：函数的零点是实数，而不是点.
探究：如何求函数的零点？
哪一组能说明小明的行程一定曾渡过河？
（1）
（2）
如何求函数的零点？
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
y
O
-1
-2
-1
-4
-3
-2
观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：
在区间[-2，1]上有零点______；
f(-2)=_______，f(1)=_______，
f(-2)·f(1)___0(填“＜”或“＞”)．
在区间(2，4)上有零点______；
f(2)·f(4)____0（填“＜”或
“＞”）．
x=－1
－4
5
<
x=3
<
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
x
y
O
-2
-1
-4
-3
-2
-1
思考：观察图象填空，在怎样的条件下，
函数 在区间 上存在零点？
有
<
有
<
有
<
①在区间(a,b)上,f(a)·f(b)____0(填“＜”或
“＞”)．在区间(a,b)上,______(填“有”或“无”)零
点；②在区间(b,c)上,f(b)·f(c) ___0(填“＜”或
“＞”)．在区间(b,c)上,______(填“有”或“无”)零
点；③在区间(c,d)上f(c)·f(d) ___0(填“＜”或
“＞”)．在区间(c,d)上,____(填“有”或“无”)
零点；
有
a
b
c
【提升总结】
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根。
例2 判断正误，若不正确，请使用函数图象举出反例
（1）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个
零点.（ ）
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b) <0，则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）
解：（1）已知函数y=f (x)在区间[a,b]上连续，且
f(a)·f(b)< 0，则f(x)在区间(a,b)内有且仅有一个
零点.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（ ）
如图,
函数y=f(x)在区间(a,b)上有3个零点,故“在区间(a,b) 内有且仅有一个零点”的说法是错误的.
（2）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b) ≥0，则f(x)在区间(a,b)内没有零点.（ ）
a
b
O
x
y
可知，函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·
f(b)≥0，但f(x)在区间(a,b)内有零点.故论断不正确。
如图,
（3）已知函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)<0，
则f(x)在区间(a,b)内存在零点.（ ）
虽然函数y=f(x)在区间[a,b]上满足f(a)·f(b)< 0,但是图象不是连续的曲线，则f(x)在区间(a,b)内不存在零点.
如图,
若函数y=5x2-7x-1在区间[a,b]上的图象
是连续不断的曲线，且函数y=5x2-7x-1在(a,
b)内有零点，则f(a)·f(b)的值( )
A.大于0 B.小于0
C.无法判断 D.等于0
C
【变式练习】
由表可知f(2)<0，f(3)>0，
由于函数f(x)在定义域(0,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点．
用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表和图象；
例3.求函数f(x)=lnx+2x－6的零点的个数.
解：
-4
-1.306 9
1.098 6
3.386 3
5.609 4
7.791 8
9.945 9
12.079 4
14.197 2
方法一
f(x)=lnx+2x－6
从而f(2)·f(3)<0,∴函数f(x)在区间(2,3)内有零点．
10
8
6
4
2
-2
-4
5
1
2
3
4
6
x
y
O
y=－2x+6
y=lnx
即求方程lnx+2x-6=0的根的个数，即求lnx=6-2x的根的个数，即判断函数y=lnx与函数y=6-2x的交点个数
如图可知，只有一个交点，即方程只有一根，函数f(x)只有一个零点.
方法二：
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.
【提升总结】
求方程2-x =x的根的个数，并确定根所在的区间[n，n+1](n∈Z)．
解：求方程 的根的个数，即求方程
的根的个数，即判断函数
与
的图象交点个数.由图可
知只有一个解.
【变式练习】
估算f(x)在各整数处的取值的正负：
令
由上表可知，方程的根所在区间为
－
+
＋
＋
Ａ.０　　Ｂ.１　　　Ｃ.２　　　Ｄ.无数个
（　 ）
Ｃ
Ｂ
（　）
3.函数f(x)=x3+x-1在下列哪个区间内有零点（ )
A.(-2，-1) B.(0，1)
C.(1，2) D.(2，3)
B
4.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间是( )
A.(-2,-1) B.(-1,0)
C.(0,1) D.(1,2)
【解析】∵f(x)=2x+3x,∴f(-1)=- ＜0,
f(0)=1＞0.
B
方程有实数根 函数的图象与 轴有交点 函数
有零点.
零点的求法
代数法、图象法
如果你不知道你要到哪儿去，那通常你哪儿也去不了。