3.3.1 方程的根与函数的零点
问题提出
判断下列方程是否有实数根，有几个？
知识探究（一）：方程的根与函数零点
思考1：上述三个一元二次方程的实根分别是什么？ 对应的二次函数的图象与x轴的交点坐标分别是什么?
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
y= x2－2x+3
1.方程根的个数就是函数图象与x轴交点的个数。
结 论:
2.方程的实数根就是函数图象与x轴交点的横坐标。
对于函数y=f (x),我们把使f (x)=0的实数x叫做函数y=f (x)的零点(zero point).
函数零点的定义：
函数y＝f (x)有零点
函数y＝f (x)的图象与x轴有交点
方程f (x)＝0有实数根
探究1 我们能否认为函数的零点就是函数图 象与x轴的交点？
探究2你认为方程的根与函数的零点有什么关系？
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c与二次方程
ax2＋bx＋c＝0 ，其判别式＝b2－4ac.
两不相等实根
两相等实根
没有实根
两个零点
一个零点
0个零点
有两个交点
有一个交点
没有交点
例1.求下列函数的零点.
练一练
2.已知函数y=f(x)的图象如下图所示, 求函数y=f(x)的零点.
解：因为（-2,0）（1,0）（3,0） 为函数图象与x轴的交点，所以函数的零点为 -2,1,3.
-2 -1
1
4
2
知识探究（二）：函数零点存在性原理
思考2:函数f(x)=2x-1的零点是什么？
知识探究（二）：函数零点存在性原理
函数f(x)=2x-1的图象在零点两侧如
何分布？
思考3:如果函数y=f(x)在区间[1,2]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在下列那种情况下，函数y=f(x)在区间(1,2)内一定有零点？
(1)f(1)＞0,f(2)＞0;
(2)f(1)＞0,f(2)＜0;
(3)f(1)＜0,f(2)＜0;
(4)f(1)＜ 0,f(2)＞0.
思考4:一般地，如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图 象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
思考5:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是间断的，上述原理适应吗？
思考6:如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，那么当 f(a)·f(b)>0时，函数y=f(x)在区间（a，b）内一定没有零点吗？
思考:一般地，如果函数y=f(x)在区间
[a，b]上的图象是间断的一条曲线，那么在什么条件下，函数y=f(x)在区间（a,b）内一定有零点？
说明：若函数y=f(x) 在区间(a, b)内有零点，不一定能得出f(a)·f(b)<0的结论，也就是说上述定理不可逆．
判定零点存在性的方法：（1）利用定理;
（2）利用图象．
由图象知，该函数在定义域内是增函数，故函数只有一个零点。
求函数f(x)=log2x+2x -6的零点个数。
理论迁移
一、求函数的零点：
函数y=f(x)有零点
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点.
课堂总结：
二、零点存在定理：
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f(a)·f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内有零点，即存在c∈ (a，b)，使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
作业：

P88练习：1题
P92习题3.1A组：2题