第27章《相似》总复习课件
一.比例线段
知识要点1
1. 成比例的数（线段）：
其中 ：a、b、c、d 叫做组成比例的项，
a、d 叫做比例外项，
b、c 叫做比例内项，
比例的性质：
a∶b=c∶d
1.若a, b, c, d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d=
6
2、下列各组线段的长度成比例的是（ ）
A. 2 , 3, 4, 1 B. 1.5 ,2.5 ,6.5 , 4.5
C. 1.1 ,2.2 ,3.3 ,4.4 D. 1 , 2 , 2 , 4
练习:
D
6
5
3、
4、已知 (1) x：(x+2)=(2—x)：3，求x。
(2)若 ， 求 。

(3) 若 ， 求 ，
1或-4
7/3
1/5,-4/5
5
6 已知1, 2, 3三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式。
6或2/3或1.5
一.比例线段
2.比例中项：
练习：
当两个比例内项相等时，
那么线段 b 叫做a 和 c 的比例中项.
一.比例线段
3.黄金分割：
练习：
定义：
对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形。
相似比：
相似三角形的对应边的比，叫做相似三角形的相似比。
二、相似三角形
知识要点2
三角形相似的判定方法有哪几种?
预备定理
∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC
二、相似三角形
相似三角形判定定理1：三边对应成比例的两个三角形相似.
二、相似三角形
相似三角形判定定理2：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.
二、相似三角形
相似三角形判定定理3：两个角对应相等的两个三角形相似
二、相似三角形
相似三角形的判定：
（1）平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)相交；（2）两角对应相等；（3）两边对应成比例且夹角相等；（4）三边对应成比例；
二、相似三角形
A
D
E
B
A
C
B
A
B
C
D
△ADE绕点A
旋转
D
C
A
D
E
B
C
A
B
C
D
E
B
C
A
D
E
点E移到与C点
重合
∠ACB=Rt∠
CD⊥AB
相似三角形基本图形的回顾：
相似三角形的性质：
1、相似三角形的对应角相等，对应边成比例
2、相似三角形的周长比等于相似比，对应高、对应角平分线，对应中线的比都等于相似比
3、相似三角形的面积比等于相似比的平方。
二、相似三角形
知识要点3
定义：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的性质：
相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.
相似多边形的周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方.
三、相似多边形
相似多边形的判定：对应角相等、对应边的比相等
1、 两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的相似叫做位似,点O叫做位似中心．
2、利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小
知识要点4
四、位似
3.如何作位似图形(放大).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
4.如何作位似图形(缩小).
1.如果两个相似图形的每组对应点所在的直线都交于一点,那么这样的两个图形叫做位似图形, 这个交点叫做位似中心, 这时两个相似图形的相似比又叫做它们的位似比.
2.位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上,它们到位似中心的距离之比等于相似比.
3.位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.
位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或－k.
1.找一找:
(1) 如图1,已知:DE∥BC,EF ∥AB,则图中共有_____对三角形相似.
(2) 如图2,已知:△ABC中, ∠ACB=900 ,CD⊥ AB于D,DE⊥BC于E,则图中共有_____个三角形和△ABC相似.
3
4
五、知识运用
4
4.若如图所示，△ABC∽△ADB，那么下列关系成立的是
( )
A.∠ADB=∠ACB
B.∠ADB=∠ABC
C.∠CDB=∠CAB
D.∠ABD=∠BDC
B
C
6.将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图所示的样子,假设图形中的所有点,线都在同一平面内,试写出一对相似三角形(不全等) .
△ADE、△BAE、△CDA都相似
7.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则当CN=_________时，△CMN与△ADE相似。
1或4
8.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O，B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐标是__________________.
·P
（0，1.5）或（0，2/3）
9、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
△ABC相似,那么AF=________
10、 如图, 在直角梯形中, ∠BAD=∠D=∠ACB=90。，
CD= 4, AB= 9, 则 AC=______
6
11、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点，且PB=3，BF⊥BP. 试问在射线BF上是否存在一点E，使以点B、E、C为顶点的三角形与△ABP相似?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
F
Ｅ
Ｅ
12、在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
或AP:AC=AC:AB
13、如图点P是△ABC的AB边上的一点,要使△APC∽△ACB,则需补上哪一个条件?
14、如图,点C,D在线段AB上, △PCD是等边三角形.
(1)当AC,CD,DB满足怎样关系时, △PCA∽△BDP.
(2)当△PCA∽ △BDP时,求∠APB的度数.
15、 如图D,E分别AB,AC是上的点, ∠AED=72o，
∠A=58o，∠B=50o, 那么△ADE和△ABC相似吗？
若AE=2,AC=4,则BC是DE的 倍.
16、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_______，△ ACP与△ABC的相似比是_______，周长之比是_______，面积之比是_______。
6
2 : 3
2 : 3
4 : 9
11、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
4
(2)以正方形的边长等量过渡.
（3）请找出图中的相似三角形
18、在平行四边形ABCD中,AE:BE=1:2.
若S△AEF=6cm2,则S△CDF = cm2
54
S △ADF=____cm2
18
练一练
19、如图（６）， △ＡＢＣ中，ＤＥ⁄⁄ＦＧ⁄⁄ＢＣ，
ＡＤ＝ＤＦ＝ＦＢ，则Ｓ△ＡＤＥ:Ｓ四边形ＤＦＧＥ:Ｓ四边形ＦＢＣＧ=_________
答案：１：３：５
20、已知梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2
∵AD∥BC
25
画一画
1、 在方格纸中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.在如图4×4的格纸中, △ABC是一个格点三角形
(1)在右图中,请你画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1)
(2)在右图中,请你再画一个格点三角形,使它与△ABC相似(相似比不为1),但与图1中所画的三角形大小不一样.
证明:∵四边形ABCD是正方形
∴BC=CD=AD，∠D=∠C=90°
∴△ADE∽△ECF
∴∠1=∠2
∵∠D=90°
∴∠1+ ∠3=90 °
∴∠2+ ∠3=90°
∴ AE⊥EF
六、例题讲解
例2、如图,DE∥BC,EF∥AB,且S△ADE=25,S△CEF=36.
求△ABC的面积.
解：∵DE∥BC，EF∥AB
∴∠A=∠CEF，∠AED=∠C
∴△ADE∽△EFC
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∵ S△ADE=25
∴S △ABC=121
例3. 过ABCD的一个顶点A作一直线分别交对角线BD、边 BC、边DC的延长线于E、F、G .
求证：EA2 = EF· EG .
分析：要证明
EA2 = EF· EG ，

即 证明 成

立，而EA、EG、EF三条线段在同一直线上，无法构成两个三角形，此时应采用换线段、换比例的方法。可证明：△AED∽△FEB， △AEB ∽ △GED.
证明：∵ AD∥BF AB∥BC
∴△AED ∽△FEB
△AEB ∽△GED

∴

∴
例4、如图, 在△ABC中,∠ACB= 900，四边形BEDC为正方形, AE交BC于F, FG∥AC交AB于G. 求证: FC=FG.
证明: ∵四边形BEDC为正方形
∴CF∥DE
∴△ACF∽△ADE
又∵FG ∥AC∥BE
∴△AGF∽△ABE
又∵ DE=BE
∴FC=FG
例5、如图, AB/AD=BC/DE=AC/AE.
(1) 求证: ∠BAD= ∠CAE;
(2) 若已知 AB=6, BD=3, AC=4, 求 CE 的长.
∴ΔABC∽ΔADE
∴ ∠BAC=∠DAE
∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE
∵∠BAD=∠CAE
∴ΔABD∽ΔACE
证明：
1、如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.
七、相似三角形的应用
2、在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例，在某一时刻,有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米,某一高楼的影长为60米,那么高楼的高度是多少米?
解:设高楼的高度为X米，则
答:楼高36米.
3、皮皮欲测楼房高度，他借助一长5m的标竿，当楼房顶部、标竿顶端与他的眼睛在一条直线 上时，其他人测出AB=4cm,AC=12m。已知皮皮眼睛离地面1.6m.请你帮他算出楼房的高度。
4、已知左、右两棵并排的大树的高分别是AB=8m 和CD=12m,两树的根部的距离BD=5,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与走边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端C?
A
B
C
D
E
F
G
H
FG=8米
5、如图，教学楼旁边有一棵树，数学小组的同学们想利用树影测量树高。课外活动时在阳光下他们测得一根长为1米的竹杆的影长是0.9米，当他们马上测量树的影子长时，发现树的影子不全落在地面上，于是他们测得落在地面上的影子长2.7米，落在墙壁上的影长1.2米,求树的高度.
八、相似与函数的相关习题
2. 如图, AD⊥BC, D为垂足, AD=8, BC=10, EFGH是△ABC内接矩形,(H、G是BC上的两个动点,但H不到达点B, G不到达点C) 设 EH=x,EF=y
(1)求y与x之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2)当EF+EH=9时,求矩形EFGH的周长和面积.
相似三角形性质应用
相似三角形性质应用
4、如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
拓展提高
1
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（1）求证：△ABD∽△DCE
∵∠ADC是△ABD的外角
∴∠ADC=∠ADE+∠2=∠B+∠1
）2
1
证明：∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠B=∠C=45°
又∵∠ADE=45°
∴∠ADE=∠B
∴∠1=∠2
∴ △ABD∽△DCE
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时AE取得最小值
解：∵△ABD∽△DCE
1
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长
AD=AE
AE=DE
DE=AD
如图,在等腰△ABC中, ∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点(不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE=45°
1
分类讨论
5、如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P是AD上一动点(不与A、D重合),ＰＥ⊥ＢＰ，ＰＥ交ＤＣ于点Ｅ．
（１）△ABP与△DPE是否相似？请说明理由；
（２）设ＡＰ＝x　ＤＥ=y，求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围；
（3）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请说明理由；
（4）请你探索在点P运动的过程中，△BPE能否成为等腰三角形？如果能，求出AP的长，如果不能，请说明理由。
2
5
x
y
5-x
拓展提高
6.如图，梯形ABCD中 AD∥BC ，∠ABC=90°，AD=9，BC=12，AB=10，在线段BC上任取一P，作射线PE⊥PD，与线段AB交于点E.（1）试确定CP=5时点E的位置；（2）若设CP=x，BE=y，试写出y关于自变量x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.
提示：体会这个图形的“模型”作用，将会助你快速解题！
拓展提高

7.如图，已知抛物线与x轴交于A、B
两点，与y轴交于C点.
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上有一点P，满足
∠PBC=90°，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，问在y轴
上是否存在点E，使得以A、O、E
为顶点的三角形与⊿PBC相似？若
存在，求出点E的坐标；若不存在，
请说明理由.
2
3
Q
6
拓展提高
8、某生活小区的居民筹集资金1600元,计划在一块上、下底分别为10m，20m的梯形空地上种植花木（如下图）
（1）他们在△AMD和△BMC地带种植太阳花，单价为8元/m2。当在△AMD地带 （图中阴影部分）中种满花后，共用去了160元。请计算种满△BMC地带所需的费用 是多少元。
（2）若其余地带要种的有玫瑰花和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/m2、10元/m2，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金？
（3）若梯形ABCD为等腰梯形，面积不变（如图2），请你设计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌ △DPC，且△APD的面积与△BPC的面积相等，并说明你的理由。
拓展提高
作业
如图，在平面直角坐标系中，A（0，1）、B（3，0）、C（-1，0）D（-2，0），连结AB、AC、AD.
(1) AD的长为___________；
(2) 找出图中相似的一对三角形，并说明
相似的理由；
(3) ∠ABD+∠ADB=_________度.
必做题：
选做题：
2. 如图，平面直角坐标系中，直线AB与x轴y轴分别A（3，0）B（0， ）两点，点C为线段AB上的一动点，过点C作CD⊥x轴于点D.
(1)求直线AB的解析式；
(2)在第一象限内求作一点P,使得以P，O，B为顶点的三角形与⊿OBA相似,并求出所有符合条件的点P.