第27章 相似
总复习
1.形状相同的图形
①表象：大小不等，形状相同.
②实质：各对应角相等、各对应边成比例.
2.相似多边形
各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).
3.相似多边形性质：
①相似多边形的对应角相等,对应边成比例.
②相似多边形周长的比等于相似比.
③相似多边形面积的比等于相似比的平方.
一、相似图形的定义、实质、及性质
4.相似三角形
三个对应角相等、三条对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比(相似比与叙述的顺序有关).
5.相似三角形性质：
①相似三角形的对应角相等,对应边成比例.
②相似三角形对应中线的比,对应角平分线的 比，对应高的比,对应周长的比都等于相似比.
③相似三角形面积的比等于相似比的平方.
6.相似三角形与全等三角形的关系：
相似比等于1的两个三角形全等.
7.两个极具代表性的益智“模型”： “A”型和“X” 型相似三角形.
1.预备定理 平行于三角形一边直线截其它两边(或其延长线),所截得的三角形与原三角形相似;
二、三角形相似的判定方法有哪些?
2.定理 三边对应成比例的两个三角形相似.
3.定理 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;
4.定理 有两个角对应相等的两个三角形相似
基本图形
三、相似图形的特例图形的位似
1.如果两个图形不仅相似,而且每组对应顶点所在的直线都经过同一个点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比.
2.性质：
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比.
3.如何作位似图形(放大).
5.体会位似图形何时为正像何时为倒像.
4.如何作位似图形(缩小).
1,如图,添加一个条件,使则△ABC∽△AED,则这条件可以是 .
练习
2．下列说法正确的是（ ）
A 所有的等腰三角形都相似
B所有的直角三角形都相似
C所有的等腰直角三角形都相似
D有一个角相等的两个等腰三角形都相似
2、在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，则各对相似三角形的相似比分别是多少？面积的比呢？
3、两个相似三角形的面积比是9：25，那么它们的相似比是_______对应边上的高的比是_________，周长之比是___________。
3：5
3：5
3：5
4、如图，△ABC,DE//BC，且△ADE的面积等于梯形BCED的面积，则△ADE与△ABC的相似比是_______
1：√2
5.△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4和9，求△ABC的面积。
6.如图，ABCD是面积为a2的任意四边形，顺次连接各边中点得四边形A1B1C1D1，再顺次连接A1B1C1D1得到四边形A2B2C2D2，重复同样的方法直到得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 。
练习
7.在AB=20米,AD=30米的矩形ABCD的花坛四周修筑小路:
(1)如果四周的小路的宽均相等,那么小路四所围成的矩形和矩形ABCD相似吗?请说明理由

(2)如果相对两条小路的宽均相等,试问小路的宽x与y的比值为多少时,能使小路四周所围成矩形和矩形ABCD相似?请说明理由.
10.如图，这是由三个全等的正方形组成的广告牌。你能从中找出一对相似三角形吗？说明理由（全等三角形除外）
∠1+ ∠2+ ∠3＝ 度
11、Rt△ABC中， ∠ACB＝90 °，CD⊥AB于D。
（1）写出图中所有的相似三角形，并选择其中一对说明理由。
（2）若AD＝1cm, BD＝4cm,请你求出CD的长度。
范例
分析：
E
C
D
M
A
F
例3.如图：在⊿ABC中， ∠C= 90°,BC=8,AC=6.点P从点B出发，沿着BC向点C以2cm/秒的速度移动;点Q从点C出发，沿着CA向点A以1cm/秒的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发，问：
①经过多少秒时⊿CPQ∽ ⊿CBA;
② 经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与⊿ABC相似？
例4：阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺、标尺、一副三角板、小平面镜。请你在他们提供的测量工具中选出工具，设计一种测量方案)（1）所需的测量工具是：——；
（2）请在下图中画出测量示意图；
（3）设树高AB的长度为x，请用所测数据（用小写字母表示）求出x
范例
分析：
(1)由题意知，易得ABC ∽ADE,得y与x的函数关系式。
现有一块三角形余料ABC，它的一边BC=12cm，高线AD=8cm. E为AB上一动点(E不与A、B重合)，且EF∥BC交AC于点F ，以EF为边向下做一个正方形EFGH，设正方形EFGH与三角形ABC的重合部分面积为y,EF=x.求
(1)当HG落在BC上时,求x
议一议
(2)当HG不落在BC边上时,求y关于x的关系式
有一批形状相同的不锈钢片，呈直角三角形，如图（1）所示，已知∠A=90°，AB=8cm，BC=10cm，用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片，如图，甲、乙各设计一种方案，你觉得哪种方案更好，为什么？
如图（1）
甲
乙
变 一 变
M
N
拓展
A
C
P
B
R
T
例2 在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点的连线为边的三角形称为格点三角形，如图所示的5×5的方格纸中，如果想作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不能为1)，则C点坐标为____________．
1
2
C1(5，2)
5
C2(4，4)
例3、在直径为AB的半圆内，划出一个三角形区域，使三角形的一边为AB，顶点C在半圆周上，现要建造一个内接于三角形ABC的矩形水池DEFN，其中DE在AB上，如图设计方案是使AC=8，BC=6，求
(1)三角形AB边上的高线CH。
(2)设DN=x,NF=y,求y关于x的函数解析式。
(3)当x为何值时，水池DEFN的面积最大，
最大为多少？
H
G
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，
（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，
（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与⊿ABC，求正方形的边长
（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，
（3）如图3，三角形内有并排的三个相等的正方形，它们组成的矩形内接于⊿ABC，求正方形的边长。
（2）如图2，三角形内有并排的两个相等的正方形，它们组成的矩形内接与⊿ABC，求正方形的边长
（1）如图1，四边形DEFG为⊿ABC的内接正方形，求正方形的边长。
练习（2003，潍坊）在Rt⊿ABC中，
∠C=90。，AC=4，BC=3，
（4）如图4，三角形内有并排的个正方形，它们组成的矩形内节于⊿ABC，请写出正方形的边长。
正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位置时，四边形ABCN面积最大，并求出最大面积；
练习