第二十七章 相似三角形复习
1．如图 27-7，已知直线 a∥b∥c，直线

m，n 与 a，b，c分别交于点 A，C，E，B，D，
F，AC＝4，CE＝6，
BD＝3，则
BF＝(
)
图 27-7
一.填空、选择题:
2、如图，DE∥BC, AD:DB=2:3,
则△ AED和△ ABC
的相似比为＿＿＿.
2:5
5
2cm
3、 已知三角形甲各边的比为3:4:6， 和它相似的三角形乙的最大边为10cm，则三角形乙的最短边为______cm.
4、等腰三角形ABC的腰长为18cm，底边长为6cm,在腰AC上取点D, 使△ABC∽ △BDC, 则DC=______.
5. 如图，△ADE∽ △ACB,
则DE:BC=_____ 。
6. 如图，D是△ABC一边BC
上一点，连接AD,使 △ABC ∽ △DBA的条件是（ ）.
A. AC:BC=AD:BD
B. AC:BC=AB:AD
C. AB2=CD·BC
D. AB2=BD·BC
7. D、E分别为△ABC 的AB、AC上
的点，且DE∥BC，∠DCB= ∠ A，
把每两个相似的三角形称为一组，那
么图中共有相似三角形_______组。
1:3
D
4
8、若△ ACP∽△ABC，AP=4，BP=5，则AC=_______，△ ACP与△ABC的相似比是_______，周长之比是_______，面积之比是_______。
6
2 : 3
2 : 3
4 : 9
9、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
4
5
11、已知梯形ABCD中， AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，若△AOD的面积为4cm2, △BOC的面积为9cm2, 则梯形ABCD的面积为_________cm2
25
12、在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
数学·新课标（RJ）
试卷讲练
数学·新课标（RJ）
14．如图27－4，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB＝120°，
求证：△ACP∽△PDB.
8、如图，已知在△ABC中，，D是AB上一点，F是BC的延长上一点，连结DF交AC于点E，且AD=CF，
求证：BF∶BD=AE∶CE
4.如图，点D是△ABC的外接圆上弧BC的中点，且
AD＝9，DE＝4.求：BD的长.
9、如图，正方形ABCD的边长为4cm，点P是BC边上不与点B、C重合的任意一点，连结AP，过点P作PQ⊥AP交DC于点Q,设BP的长为xcm,CQ的长为ycm.
(1)求点P在BC上运动的过程中y的最大值;
13.如图： DE∥BC，EF ∥AB,AE：EC=2：3，S △ABC=25，求S四边形BDEF
7、如图，D、E分别是AB、AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使ΔABE和ΔACD相似的是（ ）
A ∠B=∠C
B ∠ADC=∠AEB
C BE=CD，AB=AC
D AD∶AC=AE∶AB
甲
3. 已知教学楼高为12米，在距教学楼9米的北面有一建筑物乙，此时教学楼会影响乙的采光吗？
12
9.6
D
E
运用
3.某同学想利用树影测量树高.他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的一棵大树影长时，因大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上.经测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么这棵大树高多少米?
D
6.4
1.2
？
1.5
1.4
A
B
c
设AE=x, 则
物体的影长不等于地上的部分加上墙上的部分
M
N
P
解：作DE⊥AB于E，由题意可知△AED∽△MNP，
解得x=8 ∴AE=8
∴AB=8+1.4=9.4米
二、证明题：
1. D为△ABC中AB边上一点，
∠ACD= ∠ ABC.
求证：AC2=AD·AB.
8.如图,∠B=∠C,则图中的相似三角形有( )对.
4.如图,⊿ABC是等边三角形,点D,E分别在BC,AC上,且BD=CE,AD与BE相交于点F.
(1)图中有全等三角形吗?找出来并证明.
(2)图中有相似三角形吗?找出来并证明.
(3)BD2=AD·DF吗?请说明理由.
一块直角三角形木板的一条直角边AB长1.5m，面积为1.5m2。要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲、乙两人的加工方法分别如图1和图2所示，你能用所学过的知识说明谁的加工方法符合要求吗？（加工损耗忽略不计，计算结果保留分数）
图1
图2
二 .学以致用
3、存在探索型
1、 如图, DE是△ABC的中位线, AF∥BC,∠B=90°，在射线AF上是否存在点M，使△MEC与△ADE相似,若存在,请先确定点 M,再证明这两个三角形相似，若不存在，请说明理由.
M
证明：连结MC，　　　　　　　　　　　∵DE是△ABC的中位线，　　　　　∴DE∥BC，AE＝EC，　　　　　　又∵ME⊥AC, 　　　　　　　　　　∴AM＝CM，　　　　　　　　　　　∴ ∠1= ∠2 ，　　　　　　　　　　　∵∠B=90°，　　　　　　　　　　　∴ ∠4＝ ∠B= 90°，　　　　 　　　　∵AF ∥BC，AM ∥DE, 　　　　　　∴ ∠1= ∠ 3 ，　　　　　　　　　　　∴ ∠3= ∠2 ,　　　　　　　　　　　∵ ∠ADE＝ ∠MEC=90 ° ， 　　∴ △ADE ∽△MEC．
1
2
3
M
解:存在.过点E作AC的垂线,与AF交于一点,即M点
4
1.将两块完全相同的等腰直角三角板摆成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，则图中有相似（不包括全等）三角形吗？如有，把它们一 一写出来.
C
2、结论探索型
解：有相似三角形，它们是：
△ADE∽ △BAE, △BAE ∽ △CDA ，△ADE∽ △CDA
（ △ADE∽ △BAE ∽ △CDA）
2.△ABC中，AB>AC，过AB上一点D作直线DE交另一边于E，使所得三角形与原三角形相似，画出满足条件的图形.
E
E
E
E
4、如图，正方形ABCD中，AB＝4，G为DC中点，E在BC边上运动，（E点与点B、点C不重合）设BE＝x，过E作GA平行线交AB于F，设AFEG面积为y，写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围。
1、在正方形ABCD中，E是CD的中点，F是BC上一点，且BF∶CF=3∶1，
（1）求证：AE⊥EF
（2）求证△AEF∽△ADE
3.在矩形ABCD中，E、F分别是CD、BC上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ）
(A)ΔADE∽ΔAEF (B)ΔECF∽ΔAEF (C)ΔADE∽ΔECF (D)ΔAEF∽ΔABF
8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm，50cm，60cm，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm和50cm的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？
14.如图,要在底边BC=160cm,高AD=120cm的△ABC铁皮余料上截取一个矩形EFGH,使点H在AB上,点G在AC上,点E,F在BC上,AD交HG于点M,
(1)设HE=X,矩形EFGH的面积S,确定S与X的函数 关系式;
（2）当x取多少时，S有最大值？ S最大值是多少？
例补1：某房地产公司要在一块（如图）矩形ABCD上规划建设一个小区公园巨型GHCK，为了文物保护区△ AEF不被破坏，矩形公园的顶点G不能在文物保护区内。已知：AB=200m,AD=160m,AE=60m,AF=40m.
(1) 当矩形小区公园的顶点G恰是EF的中点时,求公园的面积.
(2)当G在EF上什么位置时,公园面积最大?
2、ΔABC中，AE是角平分线，D是AB上的一点，CD交AE于G，∠ACD=∠B，且AC=2AD.则ΔACD∽ Δ______.它们的相似比K =_______,
A
B
C
E
D
G
2、如图，已知AD是△ABC的中线，EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，求证：AD平分EF
G
3、D点是△ABC的边AC上的一点，过D点画线段DE，使点E在△ABC的边上，并且点D、点E和△ABC的一个顶点组成的小三角形与△ABC相似。问：这样的三角形可以画几个？画出DE，并且写出添线方法。
3、讨论思考题(讨论后回答)
(1)已知△ABC中，BC=8，AD是BC上的高，AD=12，E、F分别在AB、AC上滑动(不与点B、C重合)，且EF∥BC，以EF为一边作△ABC的内接矩形EFGH。
求：①EF在什么位置时，此矩形的邻边之比是1∶2？
　　②EF在什么位置时，矩形EFGH是正方形？（提供2个图形进行分析）
15．在直角坐标系中，点A（－2，0），B（0，4），C（0，3）。过点Ｃ作直线交x轴于点Ｄ，使以Ｄ、Ｏ、Ｃ为顶点的三角形与ΔAOB相似，这样的直线最多可以作（ ）条
A .2 B .3 C . 4 D. 6
A
B
C
D
D
O
D
D
【例 3】 已知：AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 G, E
是直径 AB 上一点(不与点 A，B，G 重合)，直线 DE 的延长线
交⊙O 于点 F，直线 CF 交直线 AB 于点 P.如图 27-9，试证明：
OE·OP＝OF2.
图 27-9
第27章讲练2┃ 试卷讲练
数学·新课标（RJ）
【 针对第10题训练】
1．如图27－18，已知：AB⊥DB于B点，CD⊥DB于D点，AB＝6，CD＝4，BD＝14，P点在DB上，若使以C、D、P为顶点的三角形与以P、B、A为顶点的三角形相似，则DP的长为_________________．
2或12或5.6
1、已知：△ABC中，AC=9，BC=6，问：边AC上是否存在一点D，使△ABC∽△BDC？如果存在，请算出CD的长度？
5、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出发向B以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向C点以2m/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B两地同时出发，几秒后△ PBQ与原三角形相似？
二 .学以致用