新课标（RJ）
第27章复习2 ┃ 知识归类
┃知识归纳┃
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相等
a∶b＝c∶d
对应边的比
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3．判定两个三角形相似的方法
(1)　 　于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)如果两个三角形的三组对应边的比　 　，那么这两个三角形相似；
(3)如果两个三角形的两组对应边的比　 　，并且相应　夹角　相等，那么这两个三角形相似；
(4)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应　 　，那么这两个三角形相似．
4．相似三角形的性质
平行
相等
相等
相等
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(1)相似三角形的对应边　 　，对应角　 　.
(2)相似三角形的　 　，　 　与　 　都等于相似比．
(3)相似三角形周长的比等于　 　，相似三角形面积的比等于　 　.
5．位似图形
如果两个多边形不仅　 　，而且对应顶点的连线　 　，对应边　 　，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做　 　.
[注意] (1)位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形．(2)两个位似图形的位似中心只有一个．
成比例
相等
对应高的比
对应中线的比
对应角平分线的比
相似比
相似比的平方
相似
交于一点
互相平行
位似中心
► 考点一　相似三角形的判定
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例1　如图27－11所示，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连接相应线段，不必说明理由)．
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[解析] 结合表格利用勾股定理分别求出△ABC和△DEF的三边的长，然后分别求出对应边长的比，并做出判断．
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► 考点二　相似三角形的性质
例2　如图27－13所示，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB＝6，AE＝9，DE＝2，求EF的长．
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[解析] 根据勾股定理求得BE的长，然后利用相似三角形对应边的比相等即可求出EF的长．
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► 考点三　位似和相似的关系
例3　如图27－14所示，方格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．
(1)把△ABC向左平移8格后得到△A1B1C1，画出△A1B1C1的图形并写出点B1的坐标；
(2)把△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°后得到△A2B2C，画出△A2B2C的图形并写出点B2的坐标；
(3)把△ABC以点A为位似中心放大，使放大前后对应边长的比为1∶2，画出△AB3C3的图形．
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[解析] (1)使用平移变换的知识解决；
(2)用旋转变换的知识解决；
(3)利用了位似变换将一个图形放大为原来的2倍，以及在平面直角坐标系下位似变换图形的坐标特点．
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解：(1)画出的△A1B1C1如图27－15所示，点B1的坐标为(－9，－1)．
(2)画出的△A2B2C的图形如图27－15所示，点B2的坐标为(5,5)．
(3)画出的△AB3C3的图形如图
27－15所示．
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► 考点四　用相似三角形解实际问题
例4　为了测得如图27－16(a)和(b)中的树的高度，在同一时刻小华分别做了如下操作：
图(a)：测得竹竿CD长为0.8米，其影子CE长为1米，以及图(a)中树影AE的长为2.4米．
图(b)：测得落在地面上的影子长为2.8米，落在墙上的影子的高为1.2米．请问图(a)和图(b)中的树高分别为多少？
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解：图(a)和(b)中的树高分别为1.92米和3.44米．
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► 考点五　相似三角形与圆
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[解析] (1)见到三角形两边中点想到三角形的中位线，从而得到DE∥BF，再利用平行线的性质以及圆周角定理得到角相等，进而证得三角形相似．
(2)利用相似三角形的性质可求．
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