开口方向与 a 的关系；
注意：
抛物线与 y 轴的交点与 c 的关系；
对称轴与 a，b 的关系；
抛物线与 x 轴交点数目与 b2－4ac 的符号关系。
实际问题
二次函数
实际问题的答案
利用二次函数的图象与性质求解
目标
形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。
1. 二次函数：
2、抛物线：
二次函数的图象都是抛物线。
26.1 二次函数
一、知识要点
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开口越____.
y
原点
最低点
上
小
下
高
大
3、抛物线 y=ax2 的图象 ：
4、抛物线 y = a (x－h)2 ＋k 图象的移动 ：
一般地，抛物线 y = a (x－h)2 ＋k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 y = a (x－h)2 ＋k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
（上加下减，左加右减）
各种形式的二次函数（ a≠ 0）的图象
（平移）关系
知识回顾
（1）当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下；
（2）对称轴是直线 x=h；
（3）顶点坐标是（h，k）.
5、抛物线 y = a (x－h)2 ＋k （顶点式）的图象特点：
顶点坐标：
对称轴：
6、抛物线 y = ax²+bx+c （一般式） 的图象特点：
y = ax²+bx+c
二次函数的对称轴与顶点：
y=a(x－h)2+k
（ a≠ 0）
y=ax2+bx+c
（ a≠ 0）
x=h
(h , k)
知识回顾
一般地，因为抛物线 y = ax²+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax²+bx+c 有最小（大）值 。
7. 二次函数的最值问题：
二、二次函数的图象和性质
首先把y=ax2+bx+c化成 y=a（x-h)2+k的形式，
然后对图象和性质进行归纳：

所有二次函数的图象都是一条抛物线；当a>0,抛物线的开口向上，当a<0时，抛物线的开口向下。
当 | a | 的值越大时，开口越小，函数值 y 变化越快。
当 | a | 的值越小时，开口越大，函数值 y 变化越慢。
3. 当 a > 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而增大；当 a < 0 时，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小。
二次函数的一般式：y=ax2+bx+c（a≠0）。

2.二次函数顶点式： y=a（x-h)2+k（a≠0）。

3.二次函数的交点式：y=a（x-x1)(x-x2)（a≠0)。
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系：
有两个交点
有两个不相等的实数根
只有一个交点
有两个相等的实数根
没有交点
没有实数根
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac = 0
b2 – 4ac < 0
26.2 用函数观点看一元二次方程
1. 当a>0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x1x2时，y>0,即ax2+bx+c>0 ; 当x1 即ax2+bx+c<0.
2.当a<0, △>0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个不相同的交点，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根x1、x2(x10,即ax2+bx+c>0 ;当xx2时，y<0,
即ax2+bx+c<0.
3.当a>0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当x≠x1（或x≠x2）时，y>0,即ax2+bx+c>0 ; 当x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能有ax2+bx+c<0.
y>0
4.当a<0, △=0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴有两个相同的交点，即顶点在x 轴上，一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根x1、x2(x1=x2 )，当x≠x1（或x≠x2）时，y<0,即ax2+bx+c<0 ; 当x=x1=x2时，y =0；无论 x 取任何实数，都不可能
有ax2+bx+c>0.
y<0
. 5.当a>0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的上方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y>0;
无论 x 取何值，都不可能有y≤0。
6.当a<0, △<0时，抛物线y=ax2+bx+c与x 轴无交点，即全部图象在x 轴的下方，一元二次方程ax2+bx+c=0无实数根，无论x 取何值，都有y<0 .
无论 x 取何值，都不可能有y≥0。
. 7.y=ax2+bx+c（a≠0）与 y 轴的交点的坐标为（0，c) .
由此可得：
当c >0时，抛物线与y 轴相交于正半轴；
当c =0时，抛物线过原点；
当c <0时，抛物线与y 轴相交于负半轴。
三、解析式的确定（待定系数法）
1. 已知三个普通点确定函数解析式
提示：如果已知的是三个普通点，则一般采用二次函数的一般式。
巩固练习1
2. 过顶点和一普通点的二次函数解析式的确定
巩固练习2
3. 过x轴上的两点及任意一点确定解析式时，用交点式 y=a（x-x1)(x-x2)
【例】 已知函数的图象如图所示，求函数解析式。
解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则
x1=-1, x2=3, 于是
y=a(x+1)(x-3).
∵抛物线过y 轴上的点（0，3），
∴把这点坐标代入上面式子，得
3=-3a
∴ a=-1.
∴ 所求函数解析式为：
y=-1(x+1)(x-3).
即 y= - x2+2x+3 .
巩固练习3
如图，抛物线经过下列各点，试求它的函数解析式。
解： 设函数的解析式为：y=a(x-x1)(x-x2), 则
x1=-1, x2=3, 于是
y=a(x+1)(x-3).
∵抛物线过y 轴上的点（0，-2），
∴把这点坐标代入上面式子，得
-2=-3a
∴ a=2/3.
∴ 所求函数解析式为：
y=2/3· (x+1)(x-3).
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象如图所示，试用 “ >、< 、=” 填空：
（1）a 0,b 0, c 0;
（2）a+b+c 0;
（3）a-b+c 0;
（4） △ 0；

（5） 0.
巩固练习4
<
<
>
<
>
>
>
（1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式.
（2）研究自变量的取值范围.
（3）研究所得的函数.

（4）检验 x的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值.
（5）解决提出的实际问题.
解决关于函数实际问题的一般步骤
（配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值）
26.3 实际问题与二次函数
1.二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示，已知它的顶点M在第二象限，且经过点A（1，0）和点B（0，1）。（04杭州）
（1）请判断实数a的取值范围，并说明理由；
2
x
y
1
B
1
A
O
-1＜a＜0
2.有一抛物线拱桥，已知水位在AB位置时，水面的宽度是 m，水位上升4 m就达到警戒线CD，这时水面宽是 米．若洪水到来时，水位以每小时0.5 m速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶端M处．
1. 二次函数的定义、图象、图象的平移、性质、图象与系数的关系。
2. 二次函数解析式求法。
3. 二次函数图象与一元二次方程的根的关系。
1. 二次函数的形式及结构特点。
2. 忽略自变量的取值范围，误认为二次函数的最值点就是顶点。
3. 二次函数与一元二次方程的关系。
4. 点的坐标与距离的区别和联系。