某果园有100棵苹果树，每棵树平均结600个果实.现准备多种一些苹果树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个果实.
假设果园增种x棵苹果树，苹果的总产量为y个，请你写出 y与x之间的关系式.
果园增种 x 棵苹果树，共有（100+x）棵树，平均每棵树结（600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量
y = (100+x)(600－5x) =－5x² + 100x + 60000
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银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
y = 100(x+1)²=100x² + 200x + 100
y是 x的一次函数吗？是反比例函数吗？
y =－5x² + 100x + 60000
y = 100x² + 200x + 100
二次函数复习
【知识与能力】
【过程与方法】
理解二次函数的意义。
会用描点法画出函数 y = ax2 的图象。
知道抛物线的有关概念。
通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方法。
加深对于数形结合思想的认识。
通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性。
【情感态度与价值观】
二次函数的意义。
会画二次函数图象。
描点法画二次函数 y = ax2 的图象。
数与形相互联系
要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大?
1.设矩形花圃的周长不变，垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积 y m2。试将计算结果填写在下表的空格中：
2.x的值是否可以任意取?有限定范围吗?
3.我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式。
观察函数关系式 ，
（1）函数关系式的自变量有几个?
（2）多项式分别是几次多项式?
（3）函数关系式有什么特点?
（1）有1个。
（2）二次多项式。
（3）用自变量的二次多项式来表示的。
形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数（quadratic function），a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。
x 的取值范围是全体实数。
（1） y=ax² （a≠0，b = 0，c = 0）
（2） y=ax² + c （a≠0，b = 0，c≠0）
（3） y=ax² + bx （a≠0，b≠0，c = 0）
的三种不同表示形式
等式的右边最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
反比例函数的图象
一次函数的图象
二次函数的图象是什么样子的？
一条直线
双曲线
前面的 中……
这些函数值有什么特点？
y = (100+x)(600－5x) =－5x² + 100x + 60000
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画二次函数 的图象。
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：
…
…
y
…
3
2
1
0
-1
-2
-3
…
x
（2）在平面直角坐标系中描点：
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
10
8
6
4
2
-2
1
y = x2
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= x2 的图象.
观察 这个函数的图象，它有什么特点?
画二次函数 的图象。
解：（1）列表：在 x 的取值范围内列出函数对应值表：
…
…
y
…
3
2
1
0
-1
-2
-3
…
x
（2）在平面直角坐标系中描点：
x
y
o
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-2
-4
-6
-8
y = - x2
（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y= -x2 的图象.
-10
观察 这个函数的图象，它有什么特点?
观察姚明的投篮……
二次函数的图象是不是跟投篮路线很像？
抛物线：
像这样的曲线通常叫做抛物线。
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，二次函数 的图象叫做抛物线 。
抛物线
抛物线
抛物线
这条抛物线关于
y轴对称，y轴就
是它的对称轴.
对称轴、顶点、最低点、最高点
对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.
抛物线 y=x2在x轴上方
(除顶点外)，顶点是它的最
低点，开口向上，并且向上
无限伸展;
当x=0时,函数 y的值最小，
最小值是0.
当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1
当x=1时，y=1
当x=2时，y=4
y
抛物线 y= -x2在x轴下方(除顶点外)，顶点
是它的最高点，开口向下，并且向下无限伸展，
当x=0时，函数y的值最大，最大值是0.
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y = x2
y = - x2
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴上方(除顶点外)
在x轴下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0
当x=0时,最大值为0
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y = x2、y= - x2
a>0，开口都向上;
对称轴都是y轴;
增减性相同
顶点都是原点(0,0)
只是开口
大小不同
在同一坐标系中作二次函数y= -x2和y=-2x2的图象，会是什么样?
a < 0，开口都向下;
对称轴都是y轴;
增减性相同.
顶点都是原点(0,0)
只是开口
大小不同
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 (a>0)
y= ax2 (a<0)
（0，0）
（0，0）
y轴
y轴
在x轴的上方(除顶点外)
在x轴的下方( 除顶点外)
向上
向下
当x=0时,最小值为0.
当x=0时,最大值为0.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.
在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y = ax2
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开口越____.
y
原点
最低点
上
小
下
高
大
二次项系数为2，
开口向上;
开口大小相同;
对称轴都是y轴;
增减性相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(0,1)
位置不同;
最小值不同:
分别是1和0
在同一坐标系中作二次函数y=2x2+1和y=2x2的图象,会是什么样?
y = x2
不用描点法，你知道 y = x2＋1、 y = x2－1 的图象是怎样的吗？
y = x2 ＋1
y = x2 －1
例如：
二次函数上下平移 的口决
上加下减
y = x2
y = x2 ＋1
y = x2 －1
向上平移1个单位
向下平移1个单位
y = a (x－h)2
y = a (x－h)2 ＋k
y = a (x－h)2 －k
向上平移k个单位
向下平移k个单位
一般：
顶点式
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2 +c(a>0)
y=ax2 +c(a<0)
（0，c）
（0，c）
y轴
y轴
当c>0时,在x轴的上方(经过一,二象限);
当c<0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
当c<0时,在x轴的下方(经过三,四象限);
当c>0时,与x轴相交(经过一,二三四象限).
向上
向下
当x=0时,最小值为c.
当x=0时,最大值为c.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
y = ax2 + c
在同一坐标系中作二次函数y =2(x-1)2和y=2x2的图象,会是什么样?
二次项系数为2，
开口向上;
开口大小相同;
对称轴不同；
增减性相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(1,0)
位置不同;
最小值相同
二次项系数为2，
开口向上;
开口大小相同;
对称轴不同；
增减性相同.
顶点不同,分别是
原点(0,0)和(－2,0)
位置不同;
最小值相同
在同一坐标系中作二次函数y =2(x＋1)2和y=2x2的图象,会是什么样?
二次函数左右平移 的口决
左加右减
y = 2x2
y = 2(x+1)2
向左平移
1
个单位
向右平移1个单位
例如：
y = 2(x－1)2
y = ax2 ＋k
向左平移h个单位
向右平移h个单位
y = a (x－h)2 ＋k
y = a (x＋h)2 ＋k
一般：
你能说出函数 的图象与函数
的图象的关系吗?
向右平移1个单位
向上平移2个单位
向右平移1个单位
向上平移2个单位
——或者——
一般地，抛物线 y = a (x－h)2 ＋k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线y = a (x－h)2 ＋k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.
y = a (x－h)2 ＋k 顶点式的特点
顶点坐标：
对称轴：
（h，k）
x = h
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下；
二次函数的一般式 y=ax²+bx+c 的图象是怎样的？
提取二次项系数
配方:加上并减去一次项系数一半的平方
整理:前三项化为平方形式,后两项合并同类项
化简:去掉中括号
配方法
y = ax²+bx+c 一般式
顶点坐标：
对称轴：
（1）设矩形的一边AB= x cm，那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为y m2，当x取何值时，y的最大值是多少?
在一个直角三角形内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
M
N
最大面积问题
x cm
b cm
一般地，因为抛物线 y = ax²+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax²+bx+c
有最小（大）值 。
形如 （a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做 x 的二次函数，a叫做二次函数的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。
1. 二次函数：
2、抛物线：
二次函数的图象都是抛物线。
一般地，抛物线 y=ax2 的对称轴是____轴，顶点是_______. 当a > 0时，抛物线的开口向__，顶点是抛物线的________，a 越大，抛物线的开口越___;当a < 0时，抛物线的开口向____，顶点是抛物线的最____点，a 越大，抛物线的开口越____.
y
原点
最低点
上
小
下
高
大
3、抛物线 y=ax2 的图象 ：
4、抛物线 y = a (x－h)2 ＋k 图象的移动 ：
一般地，抛物线 y = a (x－h)2 ＋k 与 y = ax2 形状相同，位置不同，把抛物线 y = ax2 向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线 y = a (x－h)2 ＋k .平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定.
（1）当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下；
（2）对称轴是直线 x=h；
（3）顶点坐标是（h，k）.
5、抛物线 y = a (x－h)2 ＋k （顶点式）的图象特点：
顶点坐标：
对称轴：
6、抛物线 y = ax²+bx+c （一般式） 的图象特点：
y = ax²+bx+c
一般地，因为抛物线 y = ax²+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y = ax²+bx+c
有最小（大）值 。
7. 二次函数的最值问题：
1.下列函数中,哪些是二次函数？
（1）y = 3(x－1)² + 1
（3）s=3－2t2
（5）y=(x + 3)²－x2
（6） v =10πr²
（是）
（是）
（不是）
（是）
（不是）
（不是）
2. 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
是二次函数关系式。
解：S = a( －a)=a(30－a)
= 30a－a²
=－a² + 30a
4. 如果函数 y=(k-3) +kx+1是二次函数,则k的值一定是______。
0
3. 如果函数 y= +kx+1 是二次函数，则k的值一定是______ 。
0或3
5. 你能说出函数 的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?
函数 的图象的开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标是（0，-2）；当x<0时，函数值y随x的增大而减小；当x>0时，函数值y随x的增大而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小值y=-2。
6. 你能再画出函数 的图象，并将它与函数 的图象作比较吗?
7. 不画出图象，你能直接说出函数
的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
因为 ，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线 x＝1，顶点坐标为（1，－2）
8. 通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
（1）抛物线的开口向上，对称轴为x＝－1，顶点坐标是（－1，－6）；
（2）抛物线开口向下，对称轴为x＝1，顶点坐标是（1，－6）
9. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S与半径r之间的关系式。
10. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。写出比赛的场次数m与球队n之间的关系式。
设长方形的宽为x，面积为y，则y=2x2.
y=2(1－x)2.
略.
抛物线 y = 4x2的开口向上，对称轴是 y 轴，顶点是原点，抛物线 开口向下，对称轴是 y 轴，顶点是原点.