第26章复习1
数学·新课标（RJ）
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┃知识归纳┃
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一般地，形如　 　(a，b，c是常数，　 　)的函数，叫做二次函数．
[注意] (1)等号右边必须是整式；(2)自变量的最高次数是2；(3)当b＝0，c＝0时，y＝ax2是特殊的二次函数．
2．二次函数的图象
二次函数的图象是一条　 　，它是　 　对称图形，其对称轴平行于　y　轴．
[注意] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的形状、大小、开口方向只与a有关．
y＝ax2＋bx＋c
a≠0
抛物线
轴
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3．二次函数的性质
开口向上
开口向上
开口向下
开口向下
(　h　，　k　)
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减小
减小
增大
增大
增大
增大
减小
减小
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4.二次函数的平移
一般地，平移二次函数y＝ax2的图象可得到二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象．
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：左加右减，上加下减．
► 考点一　确定抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值
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例1　已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有(　　)
A．最小值－3　　　B．最大值－3
C．最小值2 D．最大值2
B
[解析] B　由抛物线的开口向下，可得a<0，所以抛物线有最大值，最大值为－3.
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► 考点二　根据图象判断系数及含有系数的代数式的符号
C
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例3　在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为(　　)
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► 考点三　抛物线和其他函数图象的共存问题
A
图26－3
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例4　将二次函数y＝x2的图象先向右平移1个单位，再向下平移2个单位．
(1)求两次平移后二次函数的解析式；
(2)求经过两次平移后的图象与x轴的交点坐标．
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► 考点四　二次函数的平移
[解析] 抛物线平移后形状、大小和开口方向都没有发生改变，所以a值不变；抛物线的平移可以转化为顶点的平移，再利用顶点式可求出解析式．
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► 考点五　二次函数解析式的求法
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(1)求A、B、C三点的坐标；
(2)求经过A、B、C三点的抛物线解析式．
[解析] 利用菱形的四条边相等及对边平行结合直角坐标系可求出A、B、C三点的坐标，根据三点的坐标可以通过设一般式y＝ax2＋bx＋c来求抛物线的解析式，因为点C是抛物线的顶点，所以也可以通过设顶点式y＝a(x－h)2＋k来求抛物线的解析式．
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第26章复习2
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二次函数与一元二次方程的关系
对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当y＝0时，就变成了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0.
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的交点有三种情况：
图象与x轴有两个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根；
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图象与x轴只有一个交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0　有两个相等的实数根　；
图象与x轴没有交点⇔一元二次方程ax2＋bx＋c＝0　没有实数根　.
[注意] 当二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴有交点时，其交点横坐标就是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
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► 考点一　二次函数与一元二次方程
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例1　二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图26－9所示，根据图象解答下列问题：
(1)方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是__________________．
(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集是___________________．
(3)若方程ax2＋bx＋c＝k没有实数根，则k的取值范围是_________________．
x1＝－1，x2＝3
－1k>4
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[解析] (1)方程ax2＋bx＋c＝0的根即抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标，观察图象可知对称轴为x＝1，抛物线与x轴一个交点的横坐标为3，则抛物线与x轴另一个交点的横坐标为－1，所以方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－1，x2＝3；(2)不等式ax2＋bx＋c>0的解集即抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)位于x轴上方的那一段的x的范围，观察图象得不等式ax2＋bx＋c>0的解集为－14时，方程ax2＋bx＋c＝k没有实数根，k的取值范围是k>4.
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► 考点二　方案决策型应用题
例2　某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．0
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[解析] (1)将x＝65，y＝55和x＝75，y＝45代入y＝kx＋b中解方程组即可．
(2)根据利润等于每件利润乘以销售量得到利润W与销售单价x之间的关系式．综合顶点式和自变量的取值范围可求得最大利润．
(3)令利润W＝500，将二次函数转化为一元二次方程，然后求解并作出判断．
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► 考点三　与二次函数有关的面积问题
例3　如图26－10所示，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝90°，∠A＝45°，AB＝30，BC＝x，其中15＜x＜30.作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.
(1)用含有x的代数式表示BF的长；
(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；
(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值．
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[解析] (1)由∠ABC＝90°，∠A＝45°，可知AE＝DE＝x，根据轴对称的性质得到EF＝AE＝x，所以可求BF的长．(2)利用梯形的面积公式就可以确定S与x的函数关系式．(3)将二次函数化为顶点式，然后确定最值．
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► 考点四　图象信息题
例4　一家电脑公司推出一款新型电脑，投放市场以来3个月的利润情况如图26－11所示，该图可以近似看作为抛物线的一部分，请结合图象，解答以下问题：
(1)求该抛物线对应的二次函数解析式；
(2)该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？
(3)若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况(是否亏损？何时亏损？)作预测分析．
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