第二十六章 单元复习课
一、二次函数的相关概念
1.定义
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
2.由二次函数的定义可知二次函数必须满足三个条件
(1)函数解析式是整式；
(2)化简后自变量的最高次数必须是2；
(3)二次项的系数a不为0，一次项系数b和常数项c可以为任意实数.
3.二次函数定义的应用
与二次函数定义有关的问题的应用有两个方面，解题的关键是理解二次函数的概念.
一是根据定义判断函数的类型，在判断时要先把函数化成一般形式，对于系数含有字母的二次函数，着重看二次项的系数是否为零；
二是根据二次函数的定义，求某些字母的取值范围，解题的关键是根据次数构建关于所求字母的方程，然后求解.
二、二次函数的图象及其性质
1.二次函数y=ax2的图象及其性质
(1)抛物线y=ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.
(2)①当a＞0时,图象位于x轴的上方,抛物线开口向上,顶点为其最低点;在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
②当a＜0时,图象位于x轴的下方,抛物线开口向下,顶点为其最高点；在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小.
(3)①当a＞0时,函数y=ax2有最小值，最小值是0；
②当a＜0时,函数y=ax2有最大值，最大值是0.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质
(1)几种特殊的二次函数的图象特征
(2)二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质
3.系数a,b,c与二次函数的图象
(1)a决定开口方向及开口大小
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；|a|越大，抛物线的开口越小.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，故：①b=0时，对称轴为y轴;
② ＞0(即a，b同号)时，对称轴在y轴左侧;
③ ＜0(即a，b异号)时，对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置
当x=0时，y=c，∴抛物线y=ax2+bx+c与y轴有且只有一个交点(0,c).①c=0，抛物线经过原点；②c＞0，抛物线与y轴交于正半轴;③c＜0，抛物线与y轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.
4.二次函数图象的平移规律
平移不改变图形的形状和大小，因此抛物线在平移的过程中，图象的形状、开口方向必相同，即a不变，所以抛物线y=ax2+bx+c可以由y=ax2平移得到.其平移的规律用语言来表示可以归结为：“上加下减，左加右减”，平移时具体的对应关系可以用下列框图来表示：
三、二次函数的相关计算
1.求抛物线的顶点、对称轴的方法
(1)公式法：y=ax2+bx+c=a(x+ )2+
∴顶点是
对称轴是直线
(2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为
y=a(x-h)2+k的形式，得到顶点坐标为(h,k)，对称轴是直线x=h.将解析式y=ax2+bx+c化为y=a(x-h)2+k的形式，其基本步骤是：
①提取二次项的系数，把二次项的系数化为1(注意与一元二次
方程中配方法的区别)；
②对上面的二次函数的二次三项式配方，即加上一次项系数一
半的平方，配方时不能改变原式的值；
③写成y=a(x-h)2+k的形式.
(3)运用抛物线的对称性：由于抛物线是轴对称图形，所以对
称两点的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物
线的交点是顶点. 若已知抛物线上两点(x1,y)、(x2,y)，则对
称轴方程可以表示为：
2.求二次函数解析式
(1)二次函数解析式常用的三种形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) ；
③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
(2)恰当选择二次函数的表达形式求解析式
求解二次函数解析式的方法一般用待定系数法，根据所给条件的不同，要灵活选用函数解析式.
①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式
y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的形式，然后组成三元一次方程组来求解.
②当已知抛物线的顶点或对称轴或最大(小)值时，通常设为顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式.
③当已知抛物线与x轴的交点(或交点横坐标)或已知抛物线与x轴一个交点和对称轴时，通常设为交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
注：1.用待定系数法求解二次函数的解析式，题目给出的方式比较灵活，除上述三种方式外，往往还结合函数的性质提供一些条件，如：
(1)抛物线的形状相同(形状相同的两个抛物线的二次项的系数相同或互为相反数，在解题时要注意，防止漏解)；
(2)与坐标轴的交点所围成的三角形的面积；
(3)依据函数增减性，通过增减性的不同确定抛物线的对称轴，再设为顶点式求解；
(4)结合函数的图象平移给出某些点的坐标.
(5)应用函数图象与x轴的交点与一元二次方程的关系，借助方程的解给出条件.
2.不论应用何种形式设解析式，最后求得的结果一般化为一般形式.
3.当题目的条件中已知点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件.
四、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系
(1)“数”的角度：当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值等于0时，相应的自变量的值即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
(2)“形”的角度：若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2.
2.抛物线与x轴的交点情况与一元二次方程的根的判别式的关系
(1)有两个交点⇔Δ＞0;
(2)有一个交点(顶点在x轴上)⇔Δ=0;
(3)没有交点⇔Δ＜0.
注：根据抛物线的开口方向和顶点的位置也可以判断抛物线与x轴的交点个数，如：a＞0，顶点在x轴的上方，则抛物线与x轴没有交点.
3.应用二次函数图象求方程的近似根的步骤
(1)根据方程确定与方程有关的二次函数；
(2)画出二次函数的图象；
(3)初步估值，确定一元二次方程的根的取值范围，即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大体范围；
(4)在初步估值确定的范围内，从小到大或从大到小依次取值，借助计算器探索，确定近似值.
4.直线与抛物线的交点
(1)y轴与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的交点为(0,c).
(2)与y轴平行的直线x=h与抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)有且只有一个交点(h,ah2+bh+c).
(3)抛物线与x轴的交点
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的两个交点的横坐标x1，x2，是对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定.
(4)平行于x轴的直线与抛物线的交点
同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是ax2+bx+c=k的两个实数根.
(5)一次函数y=kx+n(k≠0)的图象l与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象G的交点，由方程组
的解的数目来确定.①方程组有两组不同的解⇔l与G有两个交点；②方程组只有一组解⇔l与G只有一个交点；③方程组无解⇔l与G没有交点.
(6)抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴
两交点为A(x1,0),B(x2,0)，由于x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两
个根，故x1+x2=- ,x1·x2= ,
五、二次函数的应用
1.应用二次函数解决实际问题的步骤
二次函数是反映现实世界中变量间的数量关系和变化规律的一种常见的数学模型，它的应用体现的核心问题是数学建模思想的应用，解题的关键是准确理解题意，建立合适的函数模型.解决此类问题的基本思路是：
(1)理解问题；(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；(3)用函数解析式表示它们之间的关系；
(4)计算或求解，并应用函数的性质作出判断；(5)检验结果的合理性.
注：1.不能选择恰当的函数解析式表示实际问题中的数量关系；
2.利用二次函数解决实际问题时，对题意理解不清，导致无法列出正确的函数解析式；
3.不考虑自变量的取值范围，所求最值与实际不符；
4.易把求最大值和最小值的公式与一元二次方程的求根公式相混.
2.二次函数应用的类型及解题策略
常见的类型有：
(1)最值问题
①利润最大问题
此类问题一般是先运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件商品利润×销售数量”建立利润与价格之间的二次函数解析式，应用配方法把二次函数写成y＝a(x－h)2＋k的形式，应用函数的性质求其最值.
②几何图形中的最值问题
常见的问题有：面积的最值、用料的最佳方案、动态几何中的最值讨论等.解决时一般结合面积公式、相似等知识，把要讨论的量表示成另一变量的二次函数的形式，结合二次函数的性质进行分析.解决与动点有关的问题时，要注意条件中交待的动点的运动范围，从极端位置着手，求出其取值范围.
(2)抛物线形问题
我们常见的桥梁、隧道、涵洞等建筑物常设计成抛物线形，体育运动中的物体运动的轨迹也是抛物线形.解决此类实际问题的关键是进行二次函数建模，依据题意，建立合适的平面直角坐标系，并利用抛物线的性质解决问题.
注：1.题意分析不透，不能建立符合题意的函数模型或所建立的函数模型不正确，导致解题错误；
2.忽视了自变量的取值范围，造成错解；
3.由几何图形中的线段的长度转化为坐标系中线段端点的坐标时，忽视了线段所在的象限，造成点的坐标符号错误.
目标
二次函数的平移
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二次函数平移的两种方法
1.确定顶点坐标平移：根据两抛物线前后顶点坐标的位置确定平移的方向与距离.
2.利用规律平移：y=a(x+h)2+k是由y=ax2经过适当的平移得到的，其平移规律是“h左加右减，k上加下减”.即自变量加减左右移，函数值加减上下移.
【例1】(2012·河南中考)在平面直角坐标系中，将抛物线y=x2-4先向右平移两个单位，再向上平移两个单位，得到的抛物线的解析式是( )
(A)y=(x+2)2+2 (B)y=(x-2)2-2
(C)y=(x-2)2+2 (D)y=(x+2)2-2
【思路点拨】根据二次函数图象“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答即可.
【解析】选B.函数y=x2-4向右平移2个单位，得：y=(x-2)2-4;再向上平移2个单位，得：y=(x-2)2-2.
二次函数的图象及性质
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【例2】(2012·鸡西中考)已知二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现有
下列结论：①abc＞0;②b2-4ac＜0;③4a-2b+c＜0;④b=-2a.则其中结论正确的是( )
(A)①③ (B)③④ (C)②③ (D)①④
【思路点拨】根据a，b，c的符号判断①；根据抛物线与x轴的交点个数判断②；由x=-2时对应的函数值判断③；最后由对称轴为直线x=1判断④，即可即得到正确结论的序号.
【解析】选B.由抛物线的开口向下，得到a＜0，∵ ＞0,
∴b＞0，由抛物线与y轴交于正半轴，得到c＞0，
∴abc＜0，①错误；又抛物线与x轴有2个交点，∴b2-4ac＞0,
②错误；∵x=-2时对应的函数值为负数,4a-2b+c＜0，③正确；∵对称轴为直线x=1,∴ =1，即b=-2a,④正确，则其中正确的结论是③④.
二次函数与方程、不等式
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二次函数与方程、不等式的关系
1.二次函数与方程：抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标满足ax2+bx+c=0；
2.二次函数与不等式：抛物线y=ax2+bx+c在x轴上方部分的横坐标满足ax2+bx+c＞0；抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方部分的横坐标满足ax2+bx+c＜0.
【例3】(2011·中山中考)已知二次函数
y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的
一个交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点
坐标为(0，3).
(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的解析式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.
【教你解题】
二次函数的应用
【相关链接】
二次函数的应用的两步骤
1.建模：根据数量关系列二次函数关系建模或者根据图象的形状建模.
2.应用：利用二次函数的性质解决问题.
【例4】(2011·滨州中考)如图，某广场设计的一建筑物造型的纵截面是抛物线的一部分，抛物线的顶点O落在水平面上，对称轴是水平线OC.点A，B在抛物线造型上，且点A到水平面的距离AC=4米，点B到水平面的距离为2米，OC=8米.
(1)请建立适当的直角坐标系，求抛物线的函数解析式;
(2)为了安全美观，现需在水平线OC上找一点P，用质地、规格已确定的圆形钢管制作两根支柱PA，PB对抛物线造型进行支撑加固，那么怎样才能找到两根支柱用料最省(支柱与地面、造型对接方式的用料多少问题暂不考虑)时的点P?(无需证明)
【思路点拨】(1)以OC为y轴、O为原点建立坐标系，求解析式.(2)转化为在OC上取点P，使PA+PB最小问题.
【解析】(1)以点O为原点，射线OC为y轴的正半轴建立直角坐标系.设抛物线的函数解析式为y=ax2，
由题意知点A的坐标为(4，8)，且点A在抛物线上,
所以8=a×42，解得a= .
故所求抛物线的函数解析式为
(2)找法：延长AC，交建筑物造型所在抛物线于点D，
则点A，D关于OC对称.
连接BD交OC于点P，则点P即为所求.
【命题揭秘】
结合近几年中考试题分析，二次函数的内容考查主要有以下特点：
1.命题方式为二次函数表达式的确定，二次函数的图象与性质的应用，判定二次函数的顶点坐标、开口方向、对称轴方程，用函数观点解决方程(组)、不等式问题；二次函数的实际应用，题型多样，涉及选择题、填空题与解答题.
2.命题的热点为二次函数表达式的求法、二次函数的实际应用，二次函数与一次函数、反比例函数的综合应用，以及函数与方程(组)、不等式知识相融合的综合题目的考查.
1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为( )
(A)y=2a(x-1) (B)y=2a(1-x)
(C)y=a(1-x2) (D)y=a(1-x)2
【解析】选D.由题意得第二次降价后的价格是a(1-x)2.则函数解析式是y=a(1-x)2.
2.(2012·黔东南州中考)抛物线y=x2-4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为( )
(A)(4，-1) (B)(0，-3)
(C)(-2，-3) (D)(-2，-1)
【解析】选A.∵抛物线y=x2-4x+3可化为:y=(x-2)2-1，∴其顶点坐标为(2,-1)，∴向右平移2个单位得到新抛物线的顶点坐标是(4，-1).
3.(2011·安顺中考)正方形ABCD边长为
1，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA
上的点，且AE=BF=CG=DH.设小正方形EFGH
的面积为y,AE=x,则y关于x的函数图象大
致是( )
【解析】选C.依题意，得y=S正方形ABCD-S△AEH-S△BEF-S△CFG-S△DGH
= 即y=2x2-2x+1(0≤x≤1),抛物线开
口向上，对称轴为x= .
4.(2012·长春中考)在平面直角坐标系中，
点A是抛物线y=a(x-3)2+k与y轴的交点，点
B是这条抛物线上的另一点，且AB∥x轴，
则以AB为边的等边三角形ABC的周长为________.
【解析】∵抛物线y=a(x-3)2+k的对称轴为x=3,且AB∥x轴，∴AB=2×3=6,∴等边△ABC的周长=3×6=18.
答案：18
5.(2011·河南中考)点A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数
y=x2-2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填“＞”“＜”“=”).
【解析】∵二次函数y=x2-2x+1的图象的对称轴是x=1，在对称轴的右面y随x的增大而增大，∵点A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点，2＜3，∴y1＜y2.
答案：＜
【归纳整合】二次函数比较大小的三种方法
1.代入数值计算函数值比较大小；
2.在对称轴的同侧根据函数的增减性比较大小；
3.在对称轴的异侧根据开口方向和距对称轴距离的远近比较大小.
6.(2012·济南中考)如图，济南建邦大桥
有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式
为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿
直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强
骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需__________秒.
【解析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B点，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，
∴A，B关于对称轴对称.从A到B需要16秒，从A到D需要8秒.
∴从O到D需10+8=18(秒).
∴从O到C需要2×18=36(秒).
答案：36
7.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是_________.
【解析】∵抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，即y=0时方程kx2-7x-7=0有实数根，即Δ=49+28k ≥ 0，解得k≥- ，且k≠0.
答案：k≥- 且k≠0
8.(2011·徐州中考)某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件.
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)的函数关系式；
(2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
【解析】(1)y=(80-60+x)(300-10x)
=-10x2+100x+6 000；
(2)y=-10x2+100x+6 000
=-10(x-5)2+6 250，
∵a=-10＜0，∴当x=5时，y有最大值，其最大值为6 250，
即单价定为85元时，每月销售该商品的利润最大，最大利润为6 250元.
9.(2012·泰州中考)如图，在平面直角
坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的
顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，
二次函数 的图象经过B，C两点.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围.
【解析】(1)由题意可得，点C的坐标为(0，2)，点B的坐标为(2，2).∵二次函数 的图象经过B，C两点，∴c=2，2b+c= ，∴b= ，
∴二次函数的解析式为 .
(2)令y=0，则 ，解得x=-1或x=3，所以抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1，0)，(3，0).
结合函数图象，当y＞0时，-1＜x＜3.