目标
第二十六章 二次函数复习课
<一> 知识结构
一、二次函数的相关概念
1.定义
形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.
2.由二次函数的定义可知二次函数必须满足三个条件
(1)函数解析式是整式；
(2)化简后自变量的最高次数必须是2；
(3)二次项的系数a不为0，一次项系数b和常数项c可以为任意实数.
<二> 知识点
3.二次函数解析式常用的三种形式
①一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
②顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0) ；
③交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0).
二、二次函数的图象及其性质
1.几种特殊的二次函数的图象特征
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象及其性质
3.系数a,b,c与二次函数的图象
(1)a决定开口方向及开口大小
当a＞0时，开口向上，当a＜0时，开口向下；|a|越大，抛物线的开口越小.
(2)b和a共同决定抛物线对称轴的位置
由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 ，
故：①b=0时，对称轴为y轴;
② ＞0(即a，b同号)时，对称轴在y轴左侧;
③ ＜0(即a，b异号)时，对称轴在y轴右侧.
(3)c的大小决定抛物线y=ax2+bx+c与y轴交点的位置
①c=0，抛物线经过原点；②c＞0，抛物线与y轴交于正半轴;③c＜0，抛物线与y轴交于负半轴.
4.二次函数图象的平移规律
平移不改变图形的形状和大小，因此抛物线在平移的过程中，图象的形状、开口方向必相同，即a不变，所以抛物线y=ax2+bx+c可以由y=ax2平移得到.其平移的规律用语言来表示可以归结为：“上加下减，左加右减”。
三、二次函数与一元二次方程的关系
1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的关系
(1)“数”的角度：当二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值等于0时，相应的自变量的值即为一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的解.
(2)“形”的角度：若抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴两交点为A(x1,0),B(x2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1，x2.
2.抛物线与x轴的交点情况与一元二次方程的根的判别式的关系
(1)有两个交点⇔Δ＞0;
(2)有一个交点(顶点在x轴上)⇔Δ=0;
(3)没有交点⇔Δ＜0.
注：根据抛物线的开口方向和顶点的位置也可以判断抛物线与x轴的交点个数，如：a＞0，顶点在x轴的上方，则抛物线与x轴没有交点.
3.应用二次函数图象求方程的近似根的步骤
(1)根据方程确定与方程有关的二次函数；
(2)画出二次函数的图象；
(3)初步估值，确定一元二次方程的根的取值范围，即确定抛物线与x轴交点的横坐标的大体范围；
(4)在初步估值确定的范围内，从小到大或从大到小依次取值，借助计算器探索，确定近似值.
四、二次函数的应用
1.应用二次函数解决实际问题的步骤
(1)理解问题，设出变量x，y；
(2)分析问题中的变量和常量以及它们之间的关系；
(3)用函数解析式表示它们之间的关系；
(4)计算或求解，并应用函数的性质作出判断；
(5)检验结果的合理性.
注：要考虑自变量的取值范围，使所求最值与实际相符
2.二次函数应用的类型及解题策略
常见的类型有：
(1)最值问题
①利润最大问题:此类问题一般是先运用“总利润=总售价－总成本”或“总利润=单件商品利润×销售数量”建立利润与价格之间的二次函数解析式，应用函数的性质求其最值.
②几何图形中的最值问题
常见的问题有：面积的最值、用料的最佳方案、动态几何中的最值讨论等.解决与动点有关的问题时，要注意条件中交待的动点的运动范围，从极端位置着手，求出其取值范围.
(2)抛物线形问题
我们常见的桥梁、隧道、涵洞等建筑物常设计成抛物线形，体育运动中的物体运动的轨迹也是抛物线形.
解决此类实际问题一般步骤：
1.分析题意，建立合适的直角坐标系。
2.根据平面直角坐标系设出解析式。
3.找出点的坐标代入解析式列出方程组，求出待定系数。
4.写出解析式，确定自变量的取值范围。
5.把图形中条件转化为坐标系中坐标，从而解决问题。
【例7 】已知二次函数y=-x2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为(-1，0)，与y轴的交点
坐标为(0，3).
(1)求出b,c的值，并写出此二次函数的解析式；
(2)根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.
<三> 典型例题
【例8】大润发超市进了一批成本为8元/个的文具盒.调查发现：这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)的关系如图所示：
(1)求这种文具盒每个星期的销售量y(个)与它的定价x(元/个)之间的函数关系式(不必写出自变量x的取值范围);
(2)每个文具盒定价是多少元时，超市每星期销售这种文具盒(不考虑其他因素)可获得的利润最高？最高利润是多少？
1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是x，降价后的价格为y元，原价为a元，则y与x之间的函数关系式为( )
(A)y=2a(x-1) (B)y=2a(1-x)
(C)y=a(1-x2) (D)y=a(1-x)2
<四> 巩固练习
2.抛物线y=x2-4x+3的图象向右平移2个单位长度后所得新的抛物线的顶点坐标为( )
(A)(4，-1) (B)(0，-3)
(C)(-2，-3) (D)(-2，-1)
3.点A(2，y1)，B(3，y2)是二次函数y=x2-2x+1的图象上两点，则y1与y2的大小关系为y1________y2(填“＞”“＜”“=”).
4.抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是_________.
5.正方形ABCD边长为1，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA
上的点，且AE=BF=CG=DH.设小正方形EFGH
的面积为y,AE=x,则y关于x的函数图象大
致是( )
6.如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的
拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当
小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需__________秒.
7.某网店以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：单价每上涨1元，该商品每月的销量就减少10件.
(1)请写出每月销售该商品的利润y(元)与单价上涨x(元)的函数关系式；
(2)单价定为多少元时，每月销售该商品的利润最大？最大利润为多少？
8.如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的
顶点A，C分别在x轴，y轴的正半轴上，
二次函数 的图象经过B，C两点.
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y＞0时x的取值范围.