第四讲
二次函数总复习
一、定义
二、图象特点
和性质
四、解析式的求法
五、函数的应用
中考考点要求
一般地，如果
y=ax2+bx+c
一、定义
二、图象特点
和性质
四、解析式的求法
五、函数的应用
(a、b、c是常数，a≠0)，的函数叫做二次函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。
二次函数y=ax2的性质
位置
开口
方向
对称性
顶点
最值
增减性
开口向上在x轴上方
开口向下在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
二次函数y=ax2+k的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
（0，k）
二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
直线ｘ＝ｈ
顶点是最低点
顶点是最高点
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
h>0
h<0
h<0
h>0
(ｈ,0)
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k (a>0)
y=a(x-h)2+k (a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
根据图形填表：
当x当x>h时, y随着x增大而增大.
当x 当x>h时, y随着x增大而减小.
2.一般二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象特点和函数性质
一、定义
二、图象特点
和性质
四、解析式的求法
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=ax2+bx+c(a>0)
y=ax2+bx+c(a<0)
由a,b和c的符号确定
由a,b和c的符号确定
向上
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
(1)a确定抛物线的开口方向：
a>0
a<0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
c=0
c<0
(3)a、b确定对称轴 的位置:
ab>0
ab=0
ab<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
Δ>0
Δ=0
Δ<0
三、图象位置与
a、b、c、 Δ 的
正负关系
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
•(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
•(0,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
•(0,c)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：

x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
•(x1,0)
•(x2,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
•(x,0)
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
(3)a、b确定对称轴 的位置:
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
•
a>0
a<0
c>0
c=0
c<0
ab>0
ab=0
ab<0
Δ>0
Δ=0
Δ<0
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
有两个交点
有两个相异的实数根
b2-4ac > 0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2-4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2-4ac < 0
若两交点坐标分别为（ x1,0）、 （x2,0）
则x1 +x2＝＿＿， x1 x2＝＿＿，
两交点的距离为｜x1 -x2 ｜＝
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
一、定义
二、图象特点
和性质
三、解析式的求法
一、基础知识 巩固练习:
例1、填空：
（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是________,
当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是x<

（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________

（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。
（0，0）（2，0）
2
例2:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系
答案: B
例3、 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________
1
-1
0
x
y
①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
④2a+b=0
⑤Δ=b-4ac > 0
3个
( 三) 图象位置与a、b、c、 Δ 的
正负关系
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
(四)根据函数性质求函数解析式
例5、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
例6:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
（1）抛物线 y = 2 (x -1/2 ) 2+1 的开口向 , 对称轴 , 顶点坐标是

（2）若抛物线y = a (x+m) 2+n开口向下，顶点在第四象限，则a 0, m 0, n 0。
上
X=1/2
（1/2，1）
〈
〈
〈
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；
(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？
(3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
解：
(1) ∵ AB为x米、篱笆长为24米
∴ 花圃宽为（24－4x）米
(3) ∵墙的可用长度为8米
∴ S＝x（24－4x）
＝－4x2＋24 x （0∴ 0<24－4x ≤6 4≤x<6
∴当x＝4cm时，S最大值＝32 平方米
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
来到商场
请大家带着以下几个问题读题
（1）题目中有几种调整价格的方法？
（2）题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？
来到商场
分析:
调整价格包括涨价和降价两种情况
先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式。涨价x元时则每星期少卖 件，实际卖出 件,销额为 元，买进商品需付 　　元因此，所得利润为　　　　　　　　　　　　　　　元
10x
(300-10x)
(60+x)(300-10x)
40(300-10x)
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x)
(0≤X≤30)
(0≤X≤30)
所以，当定价为65元时，利润最大，最大利润为6250元
在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考（1）的过程得出答案。
解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖18x件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付40(300-10x)元，因此，得利润
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :
求出函数解析式和自变量的取值范围
配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。
检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。
解这类题目的一般步骤