武城二中 梁淑静
二次函数复习
中考语录
这一秒不放弃，
下一秒就会有希望。
函数的再认识
二次函数的定义及表示方法、 y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，且a≠0）
对函数的再认识
二次函数
3、y=a（x-h）²
4、y=a（x-h）²+k
5、y=ax²+bx+c
6、y=a（x-x1)(x-x2)
二次函数的图像和性质
二次函数的表达示
一般式
顶点式
交点式
二次函数与一元一次 方程
1、二次函数与一元一次方程的关系
2、利用图像求一元二次方程的近似值
二次函数的应用
1、最大利润
2、 最大面积
3、坐标的建立
1、y=ax2
2、y=ax²+c
二次函数定义

1. 自变量的最高次数是2。
2. 二次项的系数a≠0。
3. 二次函数解析式必须是整式。
注意:当二次函数表示某个实际问题时,还必须根据题意确定自变量的取值范围.
二次函数的解析式y=ax²+bx+c
(其中a,b,c是常数，a≠0)
想一想:函数的自变量x是否可以取任何值呢?
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数.
思考：下列函数中,哪些是二次函数？是二次函数的，请说出它的二次项系数、一次项系数和常数项：
是
不是，因为不是整式
下列函数中哪些是一次函数，哪些是二次函数？
巩固一下吧！
1，函数 （其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时，
（1）它是二次函数；
（2）它是一次函数；
（3）它是正比例函数；
考考你
（1）它是二次函数？
（2）它是反比例函数？
y=ax2+bx+c
y=a(x-h)2+k
y=a(x-x1)(x-x2)
二次函数的三种解析式
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与y = ax2形状相同,位置不同。
小结：各种形式的二次函数的关系
┃ 考点攻略
新课标（RJ）
1、一般二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象特点和函数性质
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(1)是一条抛物线；
(2)对称轴是:x= -
(3)顶点坐标是:(- , )
(4)开口方向:
a>0时,开口向上；
a<0时,开口向下.
（1） a>0时，对称轴左侧( x<- )，函数值y随x的增大而减小 ；对称轴右侧( x>- )，函数值y随x的增大而增大 。
a<0时，对称轴左侧( x<- )，函数值y随x的增大而增大 ；对称轴右侧( x>- )，函数值y随x的增大而减小 。
（2） a>0时， ymin=
a<0时， ymax=
(二) 函数性质：
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二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
１.顶点坐标与对称轴
２.位置与开口方向
３.增减性与最值
抛物线
顶点坐标
对称轴
位置
开口方向
增减性
最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
（h，k）
直线x=h
直线x=h
由h和k的符号确定
由h和k的符号确定
向上
向下
当x=h时,最小值为k.
当x=h时,最大值为k.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.
在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小.
根据图形填表：
x
y
0
a<0
(1)a确定抛物线的开口方向：
a、b、c、 △、的符号与图像的关系
a>0
x
0
(2)c确定抛物线与y轴的交点位置:
c>0
x
0
•(0,c)
c=0
x
y
0
•(0,0)
c<0
x
y
0
•(0,c)
(3)a、b确定对称轴 的位置:

x
y
0
ab>0
ab=0
x
y
0
ab<0
x
y
0
x
y
0
•(x,0)
•(x1,0)
•(x2,0)
Δ>0
Δ=0
Δ<0
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
x
y
0
•
x
y
0
•(x,0)
二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，
则：
1
-1
0
x
y
①abc ___ 0
②a+b+c ___ 0
③a-b+c ___ 0
④2a+b ___ 0
⑤Δ=b-4ac ___ 0
练 习
=
<
<
>
>
1、抛物线y=ax2+bx+c关于x轴对称的抛物线的解析式为y=-ax2-bx-c
2、抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax2-bx+c
思考：
求抛物线Y=X2-2X+3关于X轴对称的抛物线的解析式，关于Y轴的抛物线的解析式
小结
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
(1)有两个交点
(2)有一个交点
(3)没有交点
二次函数与一元二次方程
b2 – 4ac > 0
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac
≥0
(1) 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是(x1,0),(x2,0)
小结
（2） 抛物线Y=ax2+bx+c与X轴的交点坐标是（X1,0)(X2,0)，则一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为X1,X2
X1+X2=- X1X2=
题型分析:
(一)抛物线与x轴、y轴的交点及所构成的面积
例1:填空：
(1)抛物线y＝x2－3x＋2与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________；
(2)抛物线y＝－2x2＋5x－3与y轴的交点坐标是____________，与x轴的交点坐标是____________．
(0,2)
(1,0)和(2,0)
(0,-3)
例2:已知抛物线y=x2-2x-8，（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为A、B，且它的顶点为P，求△ABP的面积。
例3:在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图象大致为
(二)根据函数性质判定函数图象之间的位置关系
答案: B
前进
例4、已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a、b、c。
解：∵二次函数的最大值是2
∴抛物线的顶点纵坐标为2
又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上
∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2）
∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2
又∵图象经过点（3，-6）
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2
∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
(三)根据函数性质求函数解析式
前进
例5：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
前进
例5：
已知二次函数y=—x2+x-—
（1）求抛物线开口方向，对称轴和顶点M的坐标。
（2）设抛物线与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，求C，
A，B的坐标。
（3）画出函数图象的示意图。
（4）求ΔMAB的周长及面积。
（5）x为何值时，y随的增大而减小，x为何值时，y有最大
（小）值，这个最大（小）值是多少？
（6）x为何值时，y<0？x为何值时，y>0？
解:
前进
解
0
x
y
(3)
前进
解
0
•
M(-1,-2)
•
•
C(0,-–)
•
•
A(-3,0)
B(1,0)
3
2
y
x
D
前进
解
解
0
x
x=-1
•
•
(0,-–)
•
•
(-3,0)
(1,0)
3
2
:(5)
•
(-1,-2)
当x=-1时，y有最小值为
y最小值=-2
当x< -1时，y随x的增大
而减小;
前进
解:
0
•
(-1,-2)
•
•
(0,-–)
•
•
(-3,0)
(1,0)
3
2
y
x
由图象可知
(6)
巩固练习:
1、填空：
（1）二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是___________对称轴是_________。
（2）抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________
（3）已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________
（4）二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m= ____。
1
2
（0，0）（2，0）
x<1
2
2.选择
抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.
A 直线x=1 B直线x= -1 C 直线x=2 D直线x= -2

(2)抛物线y=3x2-1的________________
A 开口向上,有最高点 B 开口向上,有最低点
C 开口向下,有最高点 D 开口向下,有最低点

(3)若y=ax2+bx+c(a  0)与轴交于点A(2,0), B(4,0),
则对称轴是_______
A 直线x=2 B直线x=4 C 直线x=3 D直线x= -3

(4)若y=ax2+bx+c(a  0)与轴交于点A(2,m), B(4,m),
则对称轴是_______
A 直线x=3 B 直线x=4 C 直线x= -3 D直线x=2
c
B
C
A
3、解答题：
已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图象过点（－3，－2）。（1）求此二次函数的解析式；（2）设此二次函数的图象与x轴交于A，B两点，O为坐标原点，求线段OA，OB的长度之和。
能力训练
1、 二次函数的图象如图所示，则在下列各不等式
中成立的个数是____________
1
-1
0
x
y
①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
④2a+b=0
⑤Δ=b-4ac > 0
3个
2、已知二次函数y=ax2-5x+c的图象如图。
(1)、当x为何值时，y随x的增大而增大;
(2)、当x为何值时，y<0。
(3)、求它的解析式和顶点坐标；
3、已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，﹣3），（2，﹣8）。
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出它的对称轴和顶点坐标。
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( )
A y=2x2 – 3 B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点情况是( )
A 无交点 B 只有一个交点
C 有两个交点 D不能确定
D
C
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
1、根据下列表格的对应值：

判断方程ax2+bx+c=0（a≠0,a、b、c为常数）一个解的范围是　（　　　）
Ａ、3＜x＜3.23 Ｂ、3.23＜x＜3.24
Ｃ、3.24＜x＜3.25 Ｄ、3.25＜x＜3.26
C
归纳小结：
（1）二次函数y=ax2+bx+c及抛物线的性质和应用
注意：图象的递增性，以及利用图象求自变量x或函
数值y的取值范围
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┃ 考点攻略
数学·新课标（RJ）
► 　方案决策型应用题
例2　某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数y＝kx＋b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45.
(1)求一次函数的表达式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．0
┃ 考点攻略
数学·新课标（RJ）
[解析] (1)将x＝65，y＝55和x＝75，y＝45代入y＝kx＋b中解方程组即可．
(2)根据利润等于每件利润乘以销售量得到利润W与销售单价x之间的关系式．综合顶点式和自变量的取值范围可求得最大利润．
(3)令利润W＝500，将二次函数转化为一元二次方程，然后求解并作出判断．
中考真题链接
24、如图，在直角坐标系中有一直角三角形AOB，O为坐标原点 ， OA=1，tan∠BAO=3，将此三角形绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线 经过点A、B、C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）若点P是第二象限内抛物线上的动点，其横坐标为t．
①设抛物线对称轴 与x轴交于一点E，连接PE，交CD于F，求出当△CEF与△COD相似时点P的坐标．
②是否存在一点P，使△PCD的面积最 大？若存在，求出△PCD面积的最大值；若不存在，请说明理由．