二次函数
复习课
二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________
对称轴是_________。
例1:
一般式　y=ax²+bx+c
顶点式　y=a(x-h)²+k
二次函数的解析式:
(a≠0)
对称轴:直线x=h 顶点:(h,k)
二次函数的图象:
是一条抛物线
二次函数的图象的性质:
开口方向; 对称轴; 顶点坐标;
增减性; 最值
二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________
对称轴是_________。
例1:
画二次函数的大致图象:
①画对称轴
②确定顶点
③确定与y轴的交点
④确定与x轴的交点
⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点
⑥连线
(0,-6)
(-2,0)
(3,0)
(1,-6)
二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是__________
对称轴是_________。
例1:
(0,-6)
(-2,0)
(3,0)
(1,-6)
增减性:
当 时,y随x的增大而减小
当 时,y随x的增大而增大
最值:
当 时,y有最 值,是
小
函数值y的正负性:
当 时,y>0
当 时,y=0
当 时,y<0
x<-2或x>3
x=-2或x=3
-2二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列
各不等式中成立的个数是____________
1
-1
0
x
y
①abc<0
②a+b+c < 0
③a+c > b
④2a+b=0
⑤
开口方向:向上a>0;向下a<0
对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号
与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0
与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0
a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定
例2:
y = ax2
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
y = a( x – h )2 + k
上下平移
左右平移
上下平移
左右平移
各种顶点式的二次函数的关系
左加右减上加下减
例3:
将 向左平移3个单位,再向下平移2个单位后,所得的抛物线的关系式是
(0,0)
(0,k)
(h,0)
(h,k)
例4:
抛物线 关于x轴对称的抛物线解析式是
解题思路:
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k
②写出顶点(h,k)
③写出顶点(h,k)关于x轴的点的坐标(h,-k)
则关于x轴对称的抛物线解析式是y=-a(x-h)2-k
关于x轴对称:
关于y轴对称:
①将原抛物线写成顶点式y=a(x-h)2+k
②写出顶点(h,k)
③写出顶点(h,k)关于y轴的点的坐标(-h,k)
则关于x轴对称的抛物线解析式是y=a(x+h)2+k
如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（ ）
例5:
例6:
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.
解:(1)点M的坐标是(12,0),点P的坐标是(6,6)
(2)设此抛物线解析式为y=a(x-6)2+6
又因为它经过(0,0),则0=a(0-6)2+6
例6:
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,
(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标
(2)求出这条抛物线的函数关系式
(3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”ABCD,使A、D两点在抛物线上,B、C两点在地面OM上,为了筹备材料,需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少?请你帮忙计算一下.
(3)设点A的横坐标为m,则点A的纵坐标是
∴AD=BC=12-2m,AB=CD=
∴AB+AD+DC=
当m=3时,即OB=3米时,3根木杆长度之和的最大值为15米.
例6:
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示,
y
x
o
P
B
C
A
D
M
如果现有一辆宽4米,高4米的卡车准备要通过这个隧道,问它能顺利通过吗?
解:当x=4时,
即当这个隧道在中心两旁4米宽时的顶的高度达到了5米多,
而车的高度只有4米,所以这两卡车能顺利通过.
2
-2
练习1、 在 y＝－x2， y＝2x2－ ＋3 ，
y＝100－5x2， y=－2x2＋5x3－3 中
有 个是二次函数。
点评：定义要点
(1)a≠0. (2)最高次数为2. (3)代数式一定是整式.
有 关 练 习
4、二次函数　　　　　　　　 图象的顶点坐标和对称轴方程为（　　）
A、（1，-2）， x＝1　 B、（1，2)，x＝1
C、（-1，-2），x＝-1 D、（-1，2），x＝-1
D
A
3、抛物线　　　　　 的对称轴及顶点坐标分别是（ 　）
A、y轴，（０，-4）　 B、x＝３，（０，４）
C、x轴，（０，０）　　D、y轴，　（０，３）
5、函数 　　　　的开口方

向 ，顶点坐标是 ，对

称轴是 　　 .

当x 　 时.y随x的增大而减小。

当x 　 时.y有最　　为 .
向上
＜－１
＝－１
小
数形结合
顶点坐标公式
点评：二次函数的几种表现形式及图像
(顶点式)
(一般式)
6、将抛物线y=-3x2-1向上平移2个单位, 再向右平移 3个单位, 所得的抛物线的表达式为 　　　　 ，
7.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移3个单位,再向上平移2个单位,得抛物线y=x2-2x+2,
则b= ，c= ,
-8
15
注意：顶点式中，上＋下－，左＋右－
8、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y=ax+c在同一坐标系内的大致图象是（　）
C
-2
9、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的几个特例：

1）、当x=1 时，
2）、当x=-1时，
3）、当x=2时，
4）、当x=-2时，
y=
y=
y=
y=
6）、2a+b 0.
o
1
-1
2
＞０
＜０
＞０
＜０
＞
5）、b²-4ac 0.
＞
a+b+c
a-b+c
4a+2b+c
4a-2b+c
选择合适的方法求二次函数解析式：
10、抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。
11、抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与
X轴的一个交点的横坐标是8。
三种思路:
已知顶点坐标、对称轴或最值
已知任意三点坐标
已知抛物线与x轴的交点坐标(x1,0).(x2,0)
12.已知抛物线 y＝x²-mx+m-1.
(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；
= 1
(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；
(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______。
(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m_______.
＞1
= 2
= 0
14、求抛物线　　　　　　　　
①与y轴的交点坐标;
②与x轴的两个交点间的距离.
③x取何值时，y＞0?
13、不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0

）的值永远为正的条件是____　　　　　_
a>0, b²-4ac<0
-3
1
6
(-1,8)
-1
15 、如图①， 已知抛物线 y=ax²+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M, 问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
15.如图①， 已知抛物线y=ax²+bx+3 （a≠0）与 x轴交于点A(1，0)和点B (－3，0)，与y轴交于点C．
(1) 求抛物线的解析式；
（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.
Q
(1,0)
(-3,0)
(0,3)
y=-x²-2x+3
Q(-1,2)
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以C为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC为腰）。
作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。
(1,0)
(-3,0)
(0,3)
(-1,0)
(4) 如图②，若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标．
E
F
(1,0)
(0,3)
(-3,0)
(m,-m²-2m+3 )