第12章
全等三角形小结与复习
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形
记作: ∆ABC ≌ ∆DEF
读作：∆ABC全等于 ∆DEF
把两个全等的三角形重合在一起
●重合的顶点叫对应顶点
●重合的边叫对应边
●重合的角叫对应角
D
E
F
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等
全等三角形的对应角相等
三角形全等的判定1：
三边对应相等的两个三角形全等，
简写为“边边边”或“SSS”。
在△ABC和△ DEF中
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）
边side
角angle
我们利用前面的结论，还可以得到作一个角等于已知角的方法。
例3：已知∠AOB
求作：∠A′O′B′=∠AOB
作法：1、以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D；
2、画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；
3、以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点D′；
4、过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB
三角形全等判定方法2
用符号语言表达为：
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（SAS）
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”)
F
E
D
C
B
A
A
B
D
A
B
C
SSA不能判定全等
在△ABC与△DEF中
∠A= ∠D
AB=DE
∠B= ∠E
∴△ABC≌△DEF（ASA）
几何语言
有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
（可简写为角边角或ASA）
三角形全等判定方法3
在△ABC与△DEF中
∴△ABC≌△DEF（AAS）
几何语言
三角形全等判定方法4
两角和它们其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
（简写为“角角边”或“AAS”）
斜边、直角边公理 (HL)
∴在Rt△ABC和Rt△ 中
AB=
BC=
∴Rt△ABC≌
∵∠C=∠C′=90°
小结
“SAS”
“ ASA ”
“ AAS ”
“ SSS ”
“ SAS ”
“ ASA ”
“ AAS ”
“ HL ”
灵活运用各种方法证明直角三角形全等
应用
“ SSS ”
尺规作图
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
用尺规作角的平分线.
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.
请你说明OC为什么是∠AOB的平分线,并与同伴进行交流.
则射线OC就是∠AOB的平分线.
∵OC是∠AOB的平分线,
且PD⊥OA,PE⊥OB
∴PD=PE
(角的平分线上的点到角的两边距离相等)
几何语言:
角平分线性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
用数学语言表示为：
找全等形
1.如图，AB∥CD， BC∥AD， AE∥CF，则图中全等三角形有( )
A 3对
B 4对
C 5对
D 6对
找全等形
2.如图，AD平分∠BAC，AB=AC， 连结BD、CD并延长交AC、AB于E、F，则图中全等三角形有( )
A 3对
B 4对
C 5对
D 6对
3.如图，已知AB∥DE，AB=DE，
∠1=∠2。
求证：BG=DF。
证边相等
4.已知：如图，AD是∠BAC的平分线，
DE⊥AB，垂足为E，DF⊥AC，垂足
为F，且DB=DC。
求证：BE=CF。
证边相等
5.已知：如图，已知BD是∠ABC的平
分线，AB=BC，点P在BD上，PM⊥
AD于M，PN⊥CD于N。
求证：PM=PN。
证边相等
求线段大小
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD
平分∠BAC，BC=10，BD=6，则点D
到AB的距离为 。
求角大小
7.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C
=70°，BE=CD，BD=CF，则∠EDF
= 。
证角的关系
8.如图，AD平分∠BAC，AB>AC，BD
=CD。
求证： ∠B+∠ACD=180°。
9.如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E， DF⊥BC于F，S△ABC=36，AB=18，
BC=12。求DE的长。
面积问题
面积问题
10.已知：如图，AC与DE相交于点F，
且AF=CF，DF=EF，BC=12cm，
△ABC中BC边上的高为15cm，求四
边形BCDE的面积。
11.如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，BD平分∠ABC。
求证：AB=BC+CD。
线段和差
线段和差
12.如图，BD是△ABC的边AC上的中线，AE⊥BD于E， CF⊥BD交延长线
于F。
求证：BE+BF=2BD。
14.如图，△ABC的∠B的平分线BD与
∠C的外角的平分线CE相交于点P。
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离
相等。
巩固
A
B
C
P
D
E