十二章
三角形复习
知识结构
一.全等三角形的定义与性质：
1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？
2：全等三角形有哪些性质？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。
（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。
（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、寻找对应元素的规律：
1、有公共边的，公共边是对应边；
2、有公共角的，公共角是对应角；
3、有对顶角的，对顶角是对应角；
4、两个全等三角形最大的边是对应边，最小的边是对应边；
5、两个全等三角形最大的角是对应角，最小的角是对应角；
二、全等三角形的判定：
一般三角形 全等的条件：
1.定义（重合）法；
2.SSS；
3.SAS；
4.ASA；
5.AAS.
直角三角形 全等特有的条件：
HL.
包括直角三角形
不包括其它形状的三角形
牛刀小试
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，
求证：△AEB ≌ △ ADC。
证明：∵BD=CE
∴ BD-ED=CE-ED，
即BE=CD。
牛刀小试
如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA，你能判断BC=AD吗？说明理由。
证明: 在△ABC与△BAD中
AC=BD
∠CAB=∠DBA
AB=BA
∴△ABC≌△DEF（SAS）
牛刀小试
如图，已知点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相
交于点O，AB = AC，∠B = ∠C.
求证：BD = CE
牛刀小试
已知，如图，∠1=∠2，∠C=∠D
求证：AC=AD
证明：
在△ABD和△ABC中
∠1=∠2 （已知）
∠D=∠C（已知）
AB=AB（公共边）
∴△ABD≌△ABC （AAS）
∴AC=AD （全等三角形对应边相等）
已知：如图,在△ABC和△ABD中，AC⊥BC,
AD⊥BD,垂足分别为C,D,AD=BC,
求证： BD=AC.
A
B
D
C
证明：∵ AC⊥BC, AD⊥BD
∴∠C=∠D=90°
在Rt△ABC和Rt△BAD中
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL)
A
∴BD=AC
牛刀小试
三、方法指引
证明两个三角形全等的基本思路：
（1）：已知两边----
找第三边
(SSS)
找夹角
（SAS)
(2):已知一边一角---
已知一边和它的邻角
找是否有直角
(HL)
已知一边和它的对角
找这边的另一个邻角(ASA)
找这个角的另一个边(SAS)
找这边的对角 (AAS)
找一角(AAS)
已知角是直角，找一边(HL)
(3):已知两角---
找两角的夹边(ASA)
找夹边外的任意边(AAS)
全等三角形识别思路
如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件____________，使△ABC≌ △DCB。
思路1：
找夹角
找第三边
找直角
已知两边：
AB=DC，BC=CB
∠ ABC=∠DCB （SAS）
AC=DB （SSS）
∠ A=∠D=90°（HL）
如图，已知∠C= ∠D，添加一个条件________________，
可得△ABC≌ △ABD，
思路2：
再找一角
已知一边一角（边角相对）
∠C= ∠D，AB=AB
（AAS）
∠CAB=∠DAB
或
∠CBA=∠DBA
A
C
B
D
如图，已知∠1= ∠2，添加一个条件___________________，可得△ABC≌ △CDA，
思路3：
已知一边一角（边与角相邻）：
∠1= ∠2，AC=CA
A
B
C
D
2
1
找夹此角的另一边
找夹此边的另一角
找此边的对角
AD=CB
∠ACD=∠CAB
∠D=∠B
（SAS）
（ASA）
（AAS）
如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需要添加的一个条件是_______________
思路4：
已知两角：
∠B= ∠E，
∠A= ∠A
找夹边
找一角的对边
AB=AE
AC=AD
或 DE=BC
(ASA)
(AAS)
练一练
一、挖掘“隐含条件”判全等
20°
5cm
3cm
公共边，公共角，对顶角
学习提示：公共边，公共角，
对顶角这些都是隐含的边，角相等的条件！
试一试
二、转化“间接条件”判全等
18
4.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？
解：∵AE=CF(已知)
A
D
B
C
F
E
∴AE－FE=CF－EF(等量减等量，差相等)
即AF=CE
在△AFD和△CEB中，
∴△AFD≌△CEB
(SAS)
19
解：∵ ∠CAE=∠BAD(已知)
∴ ∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE
(等量减等量，差相等)
即∠BAC=∠DAE
在△ABC和△ADE中，
∴△ABC≌ △ADE
(AAS)
20
6.“三月三，放风筝”如图（6）是小东同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。
解: 连接AC
∴△ADC≌△ABC(SSS)
∴ ∠ABC=∠ADC
(全等三角形的对应角相等)
在△ABC和△ADC中，
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
用法： ∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．
∴点Q在∠AOB的平分线上．
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
用法：∵ QD⊥OA,QE⊥OB,
点Q在∠AOB的平分线上
∴ QD＝QE
四、角的平分线：
1.角平分线的性质：
2.角平分线的判定：
已知:∠AOB,如图.
求作:射线OC,使∠AOC=∠BOC.
作法:
3、用尺规作角的平分线.
1.在OA和OB上分别截取OD,OE,使OD=OE.
2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 ∠AOB内交于点C..
3.作射线OC.
SSS
则射线OC就是∠AOB的平分线.
1.如图，△ABC≌△DEF，AC∥DF，∠D的对应角是（ ）
A.∠F B.∠DEF
C.∠BAC D.∠C
C
2.判定两个三角形全等必不可少的条件是（ ）
A.至少有一边对应相等
B.至少有一角对应相等
C.至少有两边对应相等
D.至少有两角对应相等
A
3.如图，AB⊥AC，DE⊥DF，AB∥DE，BE＝CF，则可判定△ABC≌△DEF的根据是（ ）
A.SSS B.SAS
C.HL D.AAS
D
4.已知△ABC≌△DEF，且△ABC的周长为100 cm，A、B分别与D、E相对应，并且AB＝30 cm，DF＝25 cm，则BC的长等于 （ ）
A. 45 cm B. 55 cm
C. 30 cm D. 25 cm
A
5.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BC＝32，且BD：CD＝9：7，则点D到AB的距离为（ ）
A. 18 B. 16 C. 14 D. 12
C
7x
6.如图，在△ABC中，∠C＝90°，点O为△ABC的三条角平分线的交点，OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，垂足点分别是D、E、F，且AB＝10，BC＝8，AC＝6，则点O到三边AB、AC、BC的距离分别等于（ ）
A. 2、2、2 B. 3、3、3
C. 4、4、4 D. 2、3、5
A
B
C
O
D
E
F
A
7.如图， △ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别是AB、AC上的点，且DE＝DF，则∠EDF＋∠BAF＝ .
（提示：作DG⊥AB于G，DH⊥AC于H）
180°
8.如图，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝EC，BC＝DE，
DE、BC交于点O.
求证：DE⊥BC.
证明：∵AB∥CD
∴∠DCA＝180°－∠A
＝180°－90°＝90°
在Rt△ABC和Rt△CED中
∴Rt△ABC≌Rt△CED（HL）
∴∠B＝∠DEC
又∵∠A＝90°
∴∠ACB＋∠B＝90°
∴∠ACB＋∠DEC＝90°
∴∠COE＝90°
∴DE⊥BC
9.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF.
求证：DF＝EF.
（提示：分两步证明：
①证明△OPD≌△OPE；
②证明△OFD≌△OFE）
9.如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，F是OC上的另外一点，连接DF、EF. 求证：DF＝EF.
证明：∵OC是∠AOB的平分线，
PD⊥OA，PE⊥OB
∴PD＝PB
在Rt△OPD和Rt△OPE中
∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）
∴OD＝OE
又∵OC是∠AOB的平分线
∴∠DOF＝∠EOF
在△OFD和△OFE中
∴△OFD≌△OFE（SAS）
∴DF＝EF
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC且AD＝BD.
求证：CD⊥AC.
（提示：过点D作DE⊥AB于E
分两步证明：
①△ADE≌△BDE；
②△ADE≌△ADC）
10.如图，在△ABC中，AB＝2AC，AD平分∠BAC且AD＝BD.
求证：CD⊥AC.
证明：过点D作DE⊥AB于E
∴∠AED＝∠BED＝90°
在Rt△ADE和Rt△BDE中
∴Rt△ADE≌Rt△BDE（HL）
∴AE＝BE
即 AB＝2AE
又∵AB＝2AC
∴AE＝AC
∵AD平分∠BAC
∴∠EAD＝∠CAD
在△ADE和△ADC中
∴△ADE≌△ADC（SAS）
∴∠C＝∠AED＝90°
∴CD⊥AC
课堂总结
学习全等三角形应注意以下几个问题：
（1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；
（2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；
（3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；
（4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”