全等三角形的复习
八年级数学第十二章
全等形
全等三角形
性质
应用
全等三角形对应边（高线、中线）相等
全等三角形对应角（对应角的平分线）相等
全等三角形的面积相等
SSS
SAS
ASA
AAS
HL
解决问题
角的平分线的性质
角平分线上的一点到角的两边距离相等
到角的两边的距离相等的点在角平分线上
结论
判定三角形全等
必须有一组对应边
相等.
二、全等三角形识别思路复习
如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件-----------------------，使△ABC≌ △DCB。
思路1：
找夹角
找第三边
找直角
已知两边：
∠ ABC=∠DCB （SAS）
AC=DB （SSS）
∠ A=∠D=90°（HL）
如图，已知∠C= ∠D，要识别△ABC≌ △ABD，需要添加的一个条件是------------------。
思路2：
找任一角
已知一边一角
（边与角相对）
（AAS）
∠CAB=∠DAB
或者
∠CBA=∠DBA
A
C
B
D
如图，已知∠1= ∠2，要识别△ABC≌ △CDA，需要添加的一个条件是-----------------
思路3：
已知一边一角（边与角相邻）：
A
B
C
D
2
1
找夹这个角的另一边
找夹这条边的另一角
找边的对角
AD=CB
∠ACD=∠CAB
∠D=∠B
（SAS）
（ASA）
（AAS）
如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需要添加的一个条件是--------------
思路4：
已知两角：
找夹边
找一角的对边
AB=AE
AC=AD
或 DE=BC
(ASA)
(AAS)
例1.如图，在△ABC中，两条角平分线BD和CE相交于点哦，若∠BOC=1200，那么∠A的度数是 .
600
例2、如图，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，图中有几组全等的三角形？它们全等的条件是什么？
H
D
C
B
A
解：有三组。　　　　　　　　
在△ABH和△ACH中 ∵AB=AC，BH=CH，AH=AH　∴△ABH≌△ACH（SSS）；
∵BD=CD，BH=CH，DH=DH
∴△DBH≌△DCH（SSS）
在△ABH和△ACH中
∵AB=AC，BD=CD，AD=AD　∴△ABD≌△ACD（SSS）；
在△ABH和△ACH中
解：
①∵E、F分别是AB，CD的中点（ ）
又∵AB=CD
∴AE=CF
在△ADE与△CBF中
AE =
=
∴△ADE≌△CBF ( )
∴AE= AB CF= CD（ ）
例3.如图，已知AB=CD，AD=CB，E、F分别是AB，CD的中点，且DE=BF，说出下列判断成立的理由.
①△ADE≌△CBF
②∠A=∠C
线段中点的定义
CF
AD
AB
CD
SSS
△ADE≌△CBF
全等三角形对应角相等
已知
CB
② ∵
∴ ∠A=∠C ( )
=
例4.如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD。求证：AF∥DE
∆ABF≌∆DCE(SAS)
∴∠AFB=∠DEC
∴AF//DE
∵ AB∥CD，AD∥BC（已知 ）
∴ ∠1＝∠2 ∠3＝∠4
在△ABC与△CDA中
∠1＝∠2 （已证）
AC=AC （公共边)
∠3＝∠4 （已证）
∴ △ABC≌△CDA（ASA）
∴ AB=CD BC=AD（全等三角形对应边相等）
证明:连结AC.
例5.如图，AB∥CD，AD∥BC，那么AB=CD吗？为什么？AD与BC呢？
A
B
C
D
2
3
4
1
例6.如图，已知AB=AD， ∠B=∠D，∠1=∠2，
求证：BC=DE
证明:∵∠1=∠2
∴∠1+∠EAC=∠2+∠EAC
∴∠BAC=∠DAE
在∆ABC和∆ADE中
∴∆ABC≌∆ADE(AAS)
∴BC=DE
解∵ CE ⊥ AB，DF⊥ AC（已知）
∴ ∠ AEC= ∠ BFD=Rt∠
∵ AF=BE （已知）
即AE+EF=BF+EF
AE=BF
∵ AC=BD
∴ RtΔACE ≌ RtΔBDF（HL）
∴ CE=DF（全等三角形的对应边相等）
A
B
C
D
E
F
例7. 如图，已知CE ⊥AB，DF ⊥ AB，AC=BD，AF=BE，则CE=DF。请说明理由。
例8.已知：∠ACB=∠ADB=900，AC=AD，P是AB上任意一点，求证：CP=DP
证明:在Rt∆ABC和Rt∆ABD中
∴Rt∆ABC≌Rt∆ABD
∴∠CAB=∠DAB
∴∆APC≌∆APD(SAS)
∴CP=DP
例9. 如图CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE与CD相交于点O，且∠1＝∠2，求证OB＝OC。
证明：∵∠1＝∠2　　CD⊥AB，BE⊥AC　　　∴OD＝OE(角平分线的性质定理)　　　在△OBD与△OCE中
∴△OBD≌△OCE(ASA)　　　　　　 ∴OB＝OC
例10. 如图A、B、C在一直线上，△ABD，△BCE都是等边三角形，AE交BD于F，DC交BE于G，求证：BF＝BG。
证明：∵△ABD，△BCE是等边三角形。∴∠DBA＝△EBC＝60°
∵ A、B、C共线∴∠DBE＝60°∴∠ABE＝∠DBC在△ABE与△DBC中
∴△ABE≌△DBC(SAS)∴∠2＝∠1
在△BEF与△BCG中
∴△BEF≌△BCG(ASA)∴BF＝BG(全等三角形对应边相等)
例11.如图AB//CD,∠B=90º,E是BC的中点,DE平分
∠ADC,求证:AE平分∠DAB
C
D
B
A
E
F
证明:作EF⊥AD,垂足为F
∵DE平分∠ADC
AB//CD,∴∠C=∠B
又∵∠B=90º∴∠C=90º
又∵EF⊥AD
∴EF=CE
又∵E是BC的中点
∴EB=EC
∴EF=EB
∵∠B=90º
∴EB⊥AB
∴AE平分∠DAB
∴BC⊥DC
例12. 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由。
∵AB=AC（已知）
AD=AD（公共边）
∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)∴BD=CD
解：BD=CD
∵ ∠ADB=∠ADC=90°
做一做
1、如图，要识别△ABC≌△ADE，除公共角∠A外，把还需要的两个条件及其根据写在横线上。
（1） ， （ ）
（2） ， （ ）
（3） ， （ ）
（4） ， （ ）
（5） ， （ ）
（6） ， （ ）
（7） ， （ ）
SAS
2、如图，D为BC中点，DF⊥AC，且DE=DF，∠B与∠C相等吗？为什么？
3、如图，AB=AC，BD、CE是△ABC的角平分线，△ABD≌△CBE吗？为什么？
4、如图，AB=AD，AC=AE，∠BAE= ∠DAC，△ABC与△ADE全等吗？
考考你，学得怎样？
5、如图1，已知AC=BD，∠1=∠2，那么△ABC≌ ，　其判定根据是__________。
6、 如图2，△ABC中，AD⊥BC于D，要使△ABD≌△ACD，若根据“HL”判定，还需加条件___ = ___，
7、 如右图，已知AC=BD， ∠A =∠D ，请你添一个直接条件，___= ， 使△AFC≌△DEB
8、如图，已知AB＝AC，BE＝CE，延长AE交BC于D，则图中全等三角形共有（　　　）
（A）1对 （B）2对　（C）3对　（D）4对
9、下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（　　　）
（A）一锐角和斜边对应相等　　　（B）两条直角边对应相等
（C）斜边和一直角边对应相等　　（D）两个锐角对应相等
10、下列四组中一定是全等三角形的为 （ ）
A．三内角分别对应相等的两三角形
B、斜边相等的两直角三角形
C、两边和其中一条边的对角对应相等的两个三角形
D、三边对应相等的两个三角形
答：证法错误。 SAS定理应用错误。
12.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD=2.5cm,DE=1.7cm。求：BE的长。
13.如图,在△ABC中, ∠ACB=90°,AO是角平分线,点D在AC的延长线上,DE过点O且DE⊥AB,垂足为E.
(1) 请你找出图中一对相等的线段,并说明它们相等的理由;
解：∵∠ACB=90°
∴BC⊥AC
∵AO平分∠BAC
又DE⊥AB BC⊥AC
∴OE=OC（角平分线上的点到角两边的距离相等
（2）图中共有多少对相等线段，一一把它们找出来，
并说明理由
14、如图， ∠B= ∠C=90度，M是BC的中点，DM平分∠ADC，
求证：AM平分∠DAB
A
D
C
B
M
E
15. 在一次战役中，我军阵地与敌人碉堡隔河相望，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士利用他头上的帽子就测出了我军阵地与敌人碉堡的距离。你知道他用的是什么方法？其中的原理是什么？
四、小结：
找夹角（SAS）
找第三边（SSS）
找直角（HL）
已知两边
找任一角（AAS）
已知一边一角
（边与角相邻）
找夹这个角的另一边（SAS）
找夹这条边的另一角（ASA）
找边的对角（AAS）
已知两角
找夹边（ASA）
找一角的对边（AAS）
1、全等三角形识别思路：
3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。
（边与角相对）
2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。
注意：１、“分别对应相等”是关键；
　　　２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。