全等三角形复习
全等形的定义：
　　能够完全重合的两个图形叫做全等形．
　　全等三角形的定义：
　　能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
全等形、全等三角形及其有关概念
△ABC与△DEF是全等的，
记作：“△ABC ≌△DEF”，
读作：“△ABC 全等于△DEF”．
全等形、全等三角形及其有关概念
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等、
对应角相等.
全等三角形的性质
例　已知：如图，△ABC ≌△DEF.
（1）若DF =10 cm，则AC 的长为 ；
（2）若∠A =100°，则：
∠D 的度数为 ；
10 cm
100°
全等三角形的性质的运用
D
课堂练习
练习1　如图，△OCA ≌△OBD，点C 和点B，点
A与点D是对应点，则下列结论错误的是（ ）．
（A） ∠COA =∠BOD ；
（B） ∠A =∠D ；
（C） CA =BD ；
（D） OB =OA ．
边边边公理：
　　三边对应相等的两个三角形全等．简写为“边边
边”或“SSS”.
全等三角形的判定
证明：∵　D 是BC 中点，
∴　BD =DC．
　在△ABD 与△ACD 中，
∴ 　△ABD ≌ △ACD （ SSS ）．
应用所学，例题解析
例　如图，有一个三角形钢架，AB =AC ，AD 是
连接点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
应用所学，例题解析
O
D
B
C
A
作法：
（1）以点O 为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，
OB 于点C、D；
（2）画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC 长为半
径画弧，交O′A′于点C′；
（3）以点C′为圆心，CD 长为半径画弧，与第2 步中
所画的弧交于点D′；
（4）过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′=∠AOB．
已知：∠AOB．求作： ∠A′O′B′=∠AOB．
用尺规作一个角等于已知角．
应用所学，例题解析
几何语言：
在△ABC 和△ A′B′ C′中，
∴　△ABC ≌△ A′B′ C′（SAS）．
归纳概括“SAS”判定方法:
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可
简写成“边角边”或“SAS ”）．
全等三角形的判定
证明：请同学们自己
写出证明过程．
典型例题
例2　已知：如图，AC //BD，AC =BD，求证：AD
//BC．
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等
（简称为“角边角”或“ASA”）．
全等三角形的判定
例题示范，巩固新知
证明：在△ABE 和△ACD 中，
∴　△ABE ≌△ACD（ASA）．
∴　AE =AD．
例1　如图，点D 在AB上，点E 在AC上，BA =AC，
∠B =∠C．求证：AD =AE．
两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（简称为“角角边”或“AAS”）．
全等三角形的判定
例题示范，巩固新知
∴　△ADC ≌△AEB（AAS）．
∴　AC =AB．
例2　如图，AE⊥BE，AD⊥DC，CD =BE，∠DAB
=∠EAC．求证：AB =AC．
证明：
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全
等（简写为“斜边、直角边”或“HL”）．
几何语言：
∵　在Rt△ABC 和 Rt△A＇B＇C＇中，
　 AB =A＇B＇，
BC =B＇C＇，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△A＇B＇C＇（HL） ．
全等三角形的判定
证明：∵　AC⊥BC，BD⊥AD，
∴　∠C 和∠D 都是直角．
在Rt△ABC 和 Rt△BAD 中，
AB =BA，
AC =BD，
∴　Rt△ABC ≌ Rt△BAD（HL）．
∴　BC =AD（全等三角形对应边相等）．
“HL”判定方法的运用
例1　如图，AC⊥BC，BD⊥AD，AC =BD．求证：
BC =AD．
角平分线的性质：
角平分线上的点到角两边的距离相等
判定：
角的内部到角的两边的距离的点在角的
平分线上
角平分线
X
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（1）如图，若QM =QN，则OQ 平分∠AOB；( )
X
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（2）如图，若QM⊥OA 于M，QN⊥OB 于N，则OQ是∠AOB 的平分线； ( )
√
应用角平分线性质定理的逆定理
1．判断题：
（3）已知：Q 到OA 的距离等于2 cm， 且Q 到OB 距离等于2 cm，则Q 在∠AOB 的平分线上．( )
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
利用尺规作角的平分线的具体方法:
A
B
O
M
N
C
感悟实践经验，用尺规作角的平分线
追问4　你能说明为什么射线OC 是∠AOB 的平分线吗？
本章的知识结构图：
体系建构
典型例题
例1　已知：如图，∠CAB =∠DBA，AD、BC 分别
是∠CAB、∠DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O．求
证：（1）△CAB ≌△DBA；
证明：请同学们自己
写出证明过程．
证明：由（1）得，
△CAB ≌△DBA ,
∴　 ∠C =∠D，CA =DB．
又　∠COA =∠DOB，
∴　△OCA ≌△ODB．
典型例题
例1　已知：如图，∠CAB =∠DBA，AD、BC 分别
是∠CAB、∠DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O．求
证：（2）△OCA ≌△ODB；
答： O 到三条直线AC、
AB、BD 的距离相等．
理由：略．
典型例题
例1　已知：如图，∠CAB =∠DBA，AD、BC 分别
是∠CAB、∠DBA 角平分线，AD、BC 相交于点O．求
证：（3）O 到三条直线AC、AB、BD 的距离有何大小
关系？并说明理由．
答： DE // CF 且DE =CF；
　　理由：
方法一　可证△CBF ≌△DAE；
方法二　可证△CAF ≌△DBE．
典型例题
追问　在例2中，AC //BD，AC =BD，在AB上取两
点E、F，AE =BF．请你判断DE、CF 有何关系？并说
明理由．