8.4 三元一次方程组的解法（第1课时）
解二元一次方程组有哪几种方法 ？它们的实质是什么？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
知识回顾
学习目标：
（1）了解三元一次方程组的概念；会用消元法解三元一次方程组．
（2）能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想．
（3）能利用三元一次方程组解决简单的实际问题
教学重点：
1、解简单的三元一次方程组。
2、通过本节学习，进一步体会“消元”的基本思想
教学难点
针对方程组的特点，灵活使用代入法、加减法等重要方法
自学指导
认真阅读教材103-104页：思考
1、对于引例“纸币”问题，你能独立列出方程组 吗？
2、什么叫三元一次方程组?
3、弄明白三元一次方程组的解法？
4、看例1的解答过程，你还有别的解法吗？
8分钟后检测你的自学效果。
前面我们学习了二元一次方程组及
其解法——消元法。对于有两个未知数
的问题，可以列出二元一次方程组来解
决。实际上，在我们的学习和生活中会
遇到不少含有更多未知数的问题。
问题
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2 元纸币数量的4倍，求1元、2元、5元纸币各多少张。
分析：
这个问题中包含有 个相等关系：
三
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
（三个量关系）每张面值 × 张数 = 钱数
x
y
z
x
2y
5z
12
22
1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍，即x=4y
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张
根据题意，可以得到下面三个方程：
X+y+z=12
X=4y
X+2y+5z=22
①
②
③
观察方程①、③你能得出什么？
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都
是1，像这样的方程叫做三元一次方程
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
X+y+z=12
X=4y
X+2y+5z=22
｛
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都 是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组
判断下列方程组是不是三元一次方程组?
方程个数不一定是三个,但至少要有两个。
方程中含有未知数的个数是三个
√
×
1
2
×
方程中含有未知数的项的次数都是一次
√
方程组中一共有三个未知数
3
4
B
2.三元一次方程组要满足什么条件呢？
（1）方程组中含有三个未知数；
（2）每个方程中含有未知数的项的次数都是1；
（3）一共有三个方程
如何解三元一次方程组呢？
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？
试一试：
①
②
③
【例】解三元一次方程组
3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③
分析：方程①中只含x,z,因此，
可以由②③消去y，得到一个只含
x，z的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，这个三元一次方程组的解为
3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③
练一练
1解方程组 若要使运算简
便，消元的方法应选取( )

(A)、先消去x； (B)、先消去y；
(C)、先消去z； (D)、以上说法都不对
不解方程组，指出下列方程组中先消去哪个未知数，使得求解方程组较为简便?
试一试
例1 解方程组
x-z=4. ③
2x+2z=2
①＋②，得
1 . 化“三元”为“二元”
考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个?）
2. 化“二元”为“一元” 。
x-y+z= 0 ②
x+y+z= 2 ①
解法一：消去y
解法二：消去x
由③得，x=z+4 ④
把④代入①、②得，
化简得，
解法三：消去z
由③得，z=x-4 ④
把④代入①、②得
化简得，
注：如果三个方程中有一个方程是二元一次方程（如例1中的③），则可以先通过对另外两个方程组进行消元，消元时就消去三个元中这个二元一次方程（如例1中的③）中缺少的那个元。缺某元，消某元。
在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意选择最恰当、最简便的方法。
解：　①＋②，得
2x+2z=2 ,
化简，得
x+z=1　 ④
③+④,得
2x=5
,
y=1
解三元一次方程组
【答案】
2.解方程组 ,则x＝_____，

y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
【答案】6 8 3
1 . 化“三元”为“二元”
解：③－②，得
2. 化“二元”为“一元”
例2 解方程组
原方程组中有哪个方程还没有用到？
例2 解方程组
解: ③ - ②，得
① + ④，得
所以,原方程组的解是
把 x=1 代入方程①、③，分别得
1 . 化“三元”为“二元”
解 ： 　③－②，得
例2 解方程组
原方程组中有哪个方程还没有用到？
在消去一个未知数得出比原方程组少一个未知数的二元一次方程组的过程中，原方程组的每一个方程一般都至少要用到一次．
可不可以只用方程组中的两个就求解出方程的解？
例2 也可以这样解:
①+②+③,得
即，
⑤－①,得
⑤－②,得
⑤－③，得
1、三元一次方程组的解法
2、三元一次方程组的应用
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握：
（一）三元一次方程组的概念是什么?
（二）解三元一次方程组的基本思路是什么?
（三）在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意什么？
这节课我们学习了三元一次方程组的解法，通过解三元一次方程组，进一步认识了解多元方程组的思路――消元．
作业
P106练习题 第1、2题
P106习题8.4：第1、、2题第 (1)小题、3题
1、某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入的资金如下表：
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、z公顷种蔬菜。由题意得
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用。

3解下列方程组：
（1）
(2)