*8.4 三元一次方程组的解法
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍.求1元、2元、5元纸币各多少张.
分析：（1）这个问题中包含有 个相等关系：
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张，1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍，
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元.
（2）这个问题中包含有 个未知数:
1元、2元、5元纸币的张数.
三
三
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
①
②
③
你能根据等量关系列出方程吗?
x+y+z=12
x=4y
x+2y+5z=22
①
②
③
观察方程①、③你能得出什么？
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
x+y+z=12，
x=4y，
x+2y+5z=22.
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
如何解三元一次方程组呢？
是不是类似于解二元一次方程组先把三元化为二元，再把二元化为一元呢？
1.三元一次方程组的解法
2.三元一次方程组的应用
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
通过本课时的学习，需要我们掌握：
【例】解三元一次方程组
分析：方程①中只含x,z,因此，
可以由②③消去y，得到一个只含
x，z的方程，与方程①组成一个二
元一次方程组.
解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，这个三元一次方程组的解为
3x＋4z=7， ①
2x＋3y＋z=9， ②
5x－9y＋7z=8. ③
x＋y－z＝6，
x－3y＋2z＝1，
3x＋2y－z＝4.
解三元一次方程组
①
②
③
【答案】
1.在方程5x－2y＋z＝3中，若x＝－1，y＝－2，
则z＝_______.
【解析】把x=-1,y=-2代入方程中，即可求出z的值.
【答案】4
2.解方程组 ,则x＝_____，

y＝______，z＝_______.
x＋y－z＝11，
y＋z－x＝5，
z＋x－y＝1.
①
②
③
【解析】通过观察未知数的系数，可采取① +②求出y， ②+ ③求出z，最后再将y与z的值代入任何一个方程求出x即可.
【答案】6 8 3
3.若x＋2y＋3z＝10，4x＋3y＋2z＝15，则x＋y＋z的值为（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
【解析】选D.通过观察未知数的系数，可采取两个方程相加得，5x+5y+5z=25，所以x+y+z=5.
4.在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0， ①
4a＋2b＋c=3， ②
25a＋5b＋c=60. ③
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1，
4a＋b=10.
a=3，
b=-2.
解这个方程组，得
把 代入①，得
a=3，
b=-2.
c=-5
a=3，
b=-2，
c=-5.
因此
5.某农场300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉
花和蔬菜，已知种植植物每公顷所需的劳动力人数及投入
的资金如下表：
已知农场计划投入67万元，应该怎样安排这三种作物的种植面积，才能使所有职工都有工作，而且投入的资金正好够用？
解：设安排x公顷种水稻、y公顷种棉花、
z公顷种蔬菜。由题意得
答：安排15公顷种水稻、20公顷种棉花、16公顷种蔬菜才能使所有职工都有工作，而且投入的资金刚好够用。