8.4 三元一次方程组
解法举例
前面我们学习了二元一次方程组及
其解法——消元法。对于有两个未知数
的问题，可以列出二元一次方程组来解
决。实际上，在我们的学习和生活中会
遇到不少含有更多未知数的问题。
引言
提出问题：1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？

纸币问题
对于这个问题的未知数必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成
这个方程组中含有 个未知数，
每个方程中含未知数的项的次数
是 。
三
1
含有三个不相同的未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
三元一次方程组的定义：
观察方程组：
下面我们讨论:如何解三元一次方程组？
①
②
③
消元
消元
解法：消x
由③代入①②得
解得
把y=2代入③，得x=8.
∴
是原方程组的解.
总结：
解三元一次方程组的基本思路是：

通过“代入”或“加减”进行 ，

把 转化为 ，使解三元一

次方程组转化为解 ，

进而再转化为解 。
消元
“三元”
“二元”
二元一次方程组
一元一次方程
例1 解三元一次方程组
3x＋4z = 7 ①
2x＋3y＋z=9 ②
5x－9y＋7z=8 ③
｛
解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
3x＋4z=7
11x＋10z=35
｛
解这个方程组，得
X=5
Z=-2
｛
把x＝5，z＝-2代入②，得y=
因此，三元一次方程组的解为
X=5
Y=
Z=-2
｛
先消y
例2 在等式 y=a ＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,
Y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值
解：根据题意，得三元一次方程组
a－b＋c= 0 ①
4a＋2b＋c=3 ②
25a＋5b＋c=60 ③
｛
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
a＋b=1
4a＋b=10
｛
a=3
b=-2
解这个方程组，得
｛
把 代入①，得
a=3
b=-2
｛
C=-5
a=3
b=-2
c=-5
｛
因此
答：a=3, b=-2, c=-5.
先消c
【方法归纳】
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：有表达式“x=···，” 用 .
类型二：缺某元， .

类型三：相同未知数系数相同或相反，
代入法
消某元
加减消元法
练习巩固
1．解下列三元一次方程组 .
2．甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙数的二分之一．求这三个数．
活动
小结
这节课我们学习了三元一次方
程组的解法，通过解三元一次方程
组，进一步认识了解多元方程组的
思路――消元．