三元一次方程组解法
1.创设情景，导入新课
已知 甲、乙、丙三数的和是23， 甲数比乙数大1， 甲数的两倍与乙数的和比丙数大20，求这三个数.
上述问题中，设甲数为x，乙数为y，丙数为z，由题意可得到方程组：
⑴
⑵
⑶
这个问题中包含有 个相等关系：
分析：
三
⑴ 甲数＋乙数＋丙数＝23
⑵ 甲数－乙数＝1
⑶ 甲数×2＋乙数－丙数＝20
{
x+y+z=23 x－y= 1 2x+y-z=20
这个方程组和前面学过的二元一次方程组有什么区别和联系？
{
x+y+z=23 x－y= 1 2x+y-z=20
在这个方程组中， x+y+z=23 和2x+y-z=20
都含有三个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的方程叫做三元一次方程.
你能说出三元一次方程组的概念吗？试一试！
{
x+y+z=23 x－y= 1 2x+y-z=20
像这样共含有三个未知数的三个一次方程所组成的一组方程，叫做三元一次方程组.
三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.
判断下列方程组是不是三元一次方程组?
方程个数一定是三个
方程中含有未知数的个数是三个
×
×
①
②
③
×
方程中含有未知数的项的次数都是一次
√
方程组中一共有三个未知数
2.类比学习，探究新知
我们能解这个三元一次方程组吗？
能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？
{
x+y+z=23 x－y= 1 2x+y-z=20
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
例1 解方程组

x=y+1
解：由方程②，得
1 . 化“三元”为“二元”
？考虑消去哪个未知数（也就是三个未知数要去掉哪一个？）
x+y+z=23 x－y= 1 2x+y-z=20
{
①
②
③
分析：如果消去“x”，应怎样做呢？
④
把④分别代入①③，得
2y+z=22
⑤
3y－z=18
⑥
化为我们
学过的二元
一次方程组啦
解由⑤⑥组成的方程组，得
y=8
z=6
把y=8代入④，得
X=9
所以原方程组的解是
{
X=9
y=8
z=6
试一试！
例1 解方程组
{
x+y+z=23 x－y= 1 2x+y-z=20
①
②
③
你能先消去未知数y（或z)，从而得到方程组的解吗？
解法二：消去y
①＋②，得
2x+z=24
④
②+③，得
3x-z=21
⑤
下面就转化为解④⑤成的方程组
{
2x+z=24
3x-z=21
试一试！
例1 解方程组
{
x+y+z=23 x－y= 1 2x+y-z=20
①
②
③
其实只要你认真观察，你会发现消去“Z”最简单
解法三：消去Z
①＋③，得
3x+2y=43
④
下面就转化为解②④成的方程组
{
x－y= 1
②
3x+2y=43
课堂小结
三元一次方程组的解法:
谈谈求解多元一次方程组的思路.
1、先观察三元一次方程组的特点，
2、再决定消去哪个求知数，化为二元一次方程组
3.理解巩固
用你学到的方法解方程：
观察（2）,此方程组与前面不一样，三个方程都不缺“谁”，消谁好，用什么方法消？
{
x+y+z=26 x－y= 1 2x-y+z=18
①
②
③
（2）
x+y+z=10 2x+3y+z=17 3x+2y-z=8
{
①
②
③
（1）
小结
（1）三元一次方程组的概念是什么？
（2）解三元一次方程组的基本思路是什么?
（3）在三元化二元时，对于具体方法的选取应该注意什么？
4.实际应用
某校初中三个年级共有651人，八年级的学生比九年级的学生人数多10%，七年级的学生比八年级多5%，求三个年级各有多少学生？
解：由题意设七，八，九年级的学生人数分别为x,y,z人，得方程：
由②可将z用y表示，由③可将x用y表示，代入①得到关于y的一元一次方程.
所以，七，八，九年级的学生人数分别为231,220,200人.