三元一次方程组
解法举例
1、解二元一次方程组有哪几种方法？
二元一次方程组
代入
加减
消元
一元一次方程
复习回顾
2、它们的实质是什么？
代入消元法和加减消元法
消元法
化未知为已知
化归转化思想
问题 小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元纸币各多少张？
分析：
这个问题中包含有 个相等关系：
三
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
探究新知
1元纸币张数＋2元纸币张数＋5元纸币张数＝12张
1元纸币的张数＝2元纸币的张数的4倍
1元的金额＋2元的金额＋5元的金额＝22元
设1元、2元、5元纸币分别为x张、y张、z张,
根据题意，可得
含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程。
观察方程①、③可以发现：
含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
探究新知
观察方程组
仿照前面学过的代入法，可以把③分别代入①②，得到两个只含y，z的方程
①
②
③
二元一次方程组用代入消元法和加减消元法求解。
探究新知
消元
消元
解三元一次方程组的基本思路与解二元一次方程组的基本思路一样，即：
三元一次方程组
二元一次方程组
一元一次方程
三元一次方程组如何解？
总结：
解三元一次方程组的基本思路是：通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”转化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程。
探究新知
例1 解三元一次方程组
解：②×3＋③ ，得
11x＋10z=35 ④
①与④组成方程组
解这个方程组，得
因此，三元一次方程组的解为
探究交流
①
②
③
分析：方程①中只含x、z,因此,可以由②③消去y，得到一个只含x,z的方程，与方程①组成一个二元一次方程组
你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.
归纳：当方程组中某个方程只含二元时，一般的，
这个方程缺哪个元，就利用另两个方程用加减法消
哪个元；如果这个二元方程系数较简单，也可以用
代入法求解。
例2 在等式 y=ax2＋bx＋c中,当x=-1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60. 求a,b,c的值.
解：根据题意，得三元一次方程组
②－①， 得 a＋b=1 ④
③－①，得 4a＋b=10 ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
把 代入①，得
c=-5
因此
答：a=3, b=-2, c=-5.
探究交流
解下列三元一次方程组 .
课堂练习
把三元一次方程组转化为二元一次方程组消元时，确定先消去哪个未知数后，要集中先消去这个未知数，不可乱消。
①
②
③
解：②×2＋③ ，得
x＋2y=53 ④
①+④得 x=22
把x=22代入①得 y=
把x=22代入③得 z=
方程组的解为
解下列三元一次方程组 .
课堂练习
解：①+②，得
5x＋2y=16 ④
②+③得
3x+4y=18 ⑤
④×2-⑤得 x=2
把x=2代入④得 y=3
方程组的解为
①
②
③
把x=2,y=3代入③得 z=1
课堂练习
甲、乙、丙三个数的和是35，甲数的2倍比乙数大5，乙数的三分之一等于丙数的二分一．求这三个数．
解：设甲乙丙三数分别为x、y、z，根据题意得：
①
②
③
由②，得 y=2x-5 ④
把④⑤代入①得 x=10
由③，得 z= y ⑤
把x=10代入④得 y=15
把y=15代入⑤得 z=10
这三个数分别是10、15、10
解下列三元一次方程组
课堂练习
解下列三元一次方程组
课堂练习
①
②
③
解：把①代入②，得
11x＋2z=23 ④
④×2+③得 x=2
把x=2代入④得 z=
方程组的解为
把x=2代入①得 y=-3
解下列三元一次方程组
课堂练习
①
②
③
解：①-②×3，得
4x＋2z=9 ④
④×5-③×2得 x=-
把x=- 代入④得 z=5
方程组的解为
把x=- 代入①得 y=
解下列三元一次方程组
课堂练习
①
②
③
解：②×2 -③，得
5x＋27z=34 ④
①×3+④得 x=5
把x=5, z= 代入③得 y=-2
方程组的解为
把x=5 代入①得 z=
解下列三元一次方程组
课堂练习
解：②×2+①，得
8x＋13z=31 ④
②×3-③，得
x＋2z=5 ⑤
⑤×8-④，得 z=3
把z=3代入⑤得 x=-1
把x=-1,z=3代入①得 y=

方程组的解为
①
②
③
解方程组
课堂练习
解:根据方程x:y=3:2,设x=3k,则y=2k.
把y=2k代入y:z=5:4,得 z=1.6k.
把x=3k, y=2k, z=1.6k代入x+y+z=66,得
3k+2k+1.6k=66
∴k=10
解法是根据方程组中两个比例式,用新的元“k”的代数式去替代x、y、z,于是原方程组可以转化为关于“k”的一元一次方程.
方程组解为
课堂练习
解下列三元一次方程组
课堂练习
解下列三元一次方程组
注意技巧
解： ①+②+③，得
x＋y+z=6 ④
④-①，得 z=3
④-②，得 x=1
④-③，得 y=2

方程组的解为
课堂练习
解下列三元一次方程组
注意技巧
课堂练习
说说你的 收获
解三元一次方程组的基本方法是代入法和加减法, 加减法比较常用.
(2) 解三元一次方程组的基本思想是消元,
关键也是消元。我们一定要根据方程组
的特点,选准消元对象, 定好消元方案.
(3) 解完后要代入原方程组的三个方程中进行检验.
一元一次方程
求出第一个未知数的值
求出第三个未知数的值
求出第二个未知数的值
二元一次方程组
三元一次方程组
祝同学们学习进步!