8.4 三元一次方程组解法举例（第1课时）
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习
回
顾
提出问题：1．题目中有几个条件？
2．问题中有几个未知量？
3．根据等量关系你能列出方程组吗？
小明手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍．求1元、2元、5元的纸币各多少张？

纸币问题
设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张.
根据题意，可以得到下面三个方程：
x+y+z=12
x+2y+5z=22
x=4y
①
②
③
x+y+z=12
x+2y+5z=22
x=4y
①
②
③
观察方程①、 ②你能得出什么？
都含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做三元一次方程.
这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把这三个方程合在一起，写成
这个方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的整式方程组叫做三元一次方程组.
如何解三元一次方程组呢？
三元一次方程组
消元
二元一次方程组
消元
一元一次方程
问题：小明手头有12张面额分别为1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元的纸币的数量是2元纸币数量的4倍。求1元、2元、5元纸币各多少张。
解：设1元、2元、5元的纸币分别为x张、y张、z张， 根据题意得：
解：把③分别代入①和② ，得：
化简，得
解这个方程组得
把y=2代入③ ，得：
∴这个三元一次方程组的解是
答：1元、2元、5元纸币分别有8张、2张、2张。
例1 解三元一次方程组
4x－9z=17 ①
3x＋y＋15z=18 ②
x ＋ 2y＋3z=2 ③
｛
解：②×2，得：
①与⑤组成方程组：
4x－9z=17 ①
5x＋27z=34 ⑤
｛
5x＋27z=34 ⑤
6x＋2y＋30z=36 ④
④ － ③ ，得：
因此，三元一次方程组的解是
解得
②,得
解方程组
①
②
③
【方法归纳】
根据方程组的特点，由学生归纳出此类方程组为：

类型一：有表达式，用_________.
类型二：缺某元，___________.

类型三：相同未知数系数相同或相反，
代入法
消某元
加减消元法
你能说出解这个方程组的思路吗？
解：①+②+③得：x+y+z=45 ④
④-①得：z=18
④-②得：x=12
④-③得：y=15
相信自己
变式练习
变式练习：
注意技巧
任何两式相加都可以消去二元求一元
解：①+②，得 2y=16 ∴y=8
①+③，得 2z=12 ∴z=6
②+③，得 2x=6 ∴ x=3
课中探究
1．把x=-1，y=0同时代入等式y=ax2+bx+c，
得______________ ．
2．把x=2，y=3同时代入等式y=ax2+bx+c，
得______________ ．
3、把x=5，y=60同时代入等式y=ax2+bx+c，
得______________ ．
例2 在等式
中，当
时，
；当
时，
；当
时，
求
的值．
分析：根据已知条件，你能得到什么？
例2的教学
解：根据题意，
得三元一次方程组
②-①，得a+b=1; ④
③-①，得4a+b=10; ⑤
④与⑤组成二元一次方程组
解这个方程组，得
① ② ③
代入①，得 c=-5
因此，
答：
例2的教学
1、甲、乙两人分别以均匀的速度在周长为600米的圆形轨道上运动，甲的速度较快，当两人反向运动时，每15秒钟相遇一次；当两人同向运动时，每1分钟相遇一次，求甲、乙人的速度。
解：设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，
根据题意得：
解这个方程组得：
答：甲的速度是25米/秒，乙的速度是15米/秒。
例：北京和上海都有某种仪器可供外地使用。其中北京可提供10台，上海可提供4台。已知重庆需要8台，武汉需要6台，从北京、上海将仪器运往重庆、武汉的费用如下表所示。有关部门计划用8000元运送这些仪器，请你设计一种方案，使武汉、重庆能得到所需仪器，而且运费正好够用。
400元
400(10-x)元
北京
上海
重庆
武汉
10台
4台
需要8台
需要6台
800元
500元
300元
800x元
500y元
300(4-y )元
解：设北京运往重庆x台，运往武汉 (10-x)台
上海运往重庆y台，运往武汉(4-y)台。
｛
800x+400(10-x)+500y+300(4-y)=8000
x+y=8
解这个方程组，得
x = 6
y = 2
｛
答： 北京运往重庆6台，运往武汉4台；
上海运往重庆2台，运往武汉2台。
由题意得：
∴10-x = 4
4-y = 2
3、甲运输公司决定分别运给A市苹果10t，B市苹果8t，但现在仅有12t苹果，还需从乙运输公司调运6t，经协商，从甲运输公司运1t苹果到A、B两市的运费分别为50元和30元，从乙运输公司运1吨苹果到A、B两市的运费分别为80元和40元，要求总运费为840元，如何进行调运？
说一说： 已知量和未知量有哪些？
想一想： 从未知量中选取哪些量设为未知数较好？
解：设从甲运输公司运给A市x吨苹果，从乙运输公司运给A市y吨苹果,则从从甲运输公司运给B市______吨苹果，从乙运输公司运给B市______吨苹果。
由题意得：
解方程组得：
答：应从甲运输公司运8吨到A市，运4吨到B市，
从乙运输公司运2吨到A市，运4吨到B市。
∴12-x=4
6-y=4