第一章 有理数总复习
七年级数学上学期
1.负数 2.有理数 3.数轴
4.互为相反数
5.互为倒数
6.有理数的绝对值
7.有理数大小的比较
8.科学记数法、近似数与有效数字
一、有理数的基本概念
二、有理数的运算
加、减、乘、除、乘方运算
一、有理数的基本概念
1.负数：
在正数前面加“—”的数；
0既不是正数，也不是负数。
判断：
1）a一定是正数；
2）－a一定是负数；
3）－（－a）一定大于0；
4）0是正整数。
×
×
×
×
判断：
①带“－”号的数都是负数
②－a一定是负数
③不存在既不是正数，也不是负数的数
④０℃表示没有温度
增加－20%，实际的意思是　　　　　．
甲比乙大－３表示的意思是　　　　　．
2.有理数：
整数和分数统称有理数。
有理数
整数
分数
正整数
负整数
正分数
负分数
有理数
正有理数
零
负有理数
正整数
正分数
负整数
负分数
自然数
零
非负整数集有
[基础练习]
1☆把下列各数填在相应额大括号内：
1，－0.1，-789，25，0，-20，-3.14，-590，6/7
·正整数集｛ …｝； ·正有理数集｛ …｝；
·负有理数集｛ …｝；·负整数集｛ …｝；
·自然数集｛ …｝； ·正分数集｛ …｝
·负分数集｛ …｝
2☆ 某种食用油的价格随着市场经济的变化涨落，规定上涨记为正，则-5.8元的意义是 ；如果这种油的原价是76元，那么现在的卖价是 。
3.数 轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线.
1）在数轴上表示的两个数，
右边的数总比左边的数大；
2）正数都大于0,负数都小于0；
正数大于一切负数；
3）所有有理数都可以用数轴上
的点表示。
[基础练习]
1☆如图所示的图形为四位同学画的数轴，其中正确的是（ ）
2☆在数轴上画出表示下列各数的点，并按从大到小的顺序排列，用“>”号连接起来。　　　　　　 　　
4，　-|-2|，　-4.5，　1，　0。

3★ ①比－3大的负整数是_______；　 ②已知ｍ是整数且-4-2，-1
-3，-2，-1，0，1，2
-1
1
0
+3
-3
２
4★★选择题：
(1)在数轴上，原点及原点左边所表示的数（　）　　
Ａ整数　Ｂ负数　Ｃ非负数　Ｄ非正数
(2)下列语句中正确的是（　）　　　　　　　　　　　Ａ数轴上的点只能表示整数　
Ｂ数轴上的点只能表示分数　
Ｃ数轴上的点只能表示有理数　
Ｄ所有有理数都可以用数轴上的点表示出来
(5)在数轴上点A表示-4,如果把原点O向负方向移
动1个单位,那么在新数轴上点A表示的数是( )
A.-5， B.-4 C.-3 D.-2
D
D
C
4.相反数
只有符号不同的两个数，
其中一个是另一个的相反数。
1）数a的相反数是-a
2）0的相反数是0.
-2
2
-4
4
3）若a、b互为相反数，则a+b=0.
（a是任意一个有理数）；
[基础练习]
1☆-5的相反数是 ；-（-8）的相反数是 ；
- [+（-6）]=________；0的相反数是 ； a的相反数是 ； 的相反数的倒数是______________ ；
2☆若a和b是互为相反数，则a+b＝（ ）
A. –2a B .2b C. 0 D. 任意有理数
3★(1)如果a＝－13，那么－a＝______；
(2)如果-a＝－5.4，那么a＝______；
(3)如果－x＝－6，那么x＝______；
(4)－x＝9，那么x＝______.
4★★已知a、b都是有理数，且|a|=a，|b|=-b，则ab是（    ）
A．负数； B.正数；    C.负数或零；  D.非负数
5、用-a表示的数一定是（ ）
A .负数 B. 正数
C .正数或负数 D.正数或负数或0
6、一个数的相反数是最小的正整数，那么这个数是（ ）
A .–1 B. 1 C .±1 D. 0
7、①互为相反的两个数在数轴上位于原点两旁（ ）
②在一个数前面添上“-”号，它就成了一个负数（ ）
③ 只要符号不同，这两个数就是相反数（ ）
D
A
×
×
×
5.倒 数
乘积是1的两个数互为倒数.
3）若a与b互为倒数，则ab=1.
2）0没有倒数 ；
4）倒数是它本身的是______.
6.绝对值
一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。
1）数a的绝对值记作︱a︱;
a
-a
0
3) 对任何有理数a,总有︱a︱≥0.
[基础练习]
1☆—2的绝对值表示它离开原点的距离是 个单位，记作 .
2☆ |-8|= ； -|-5|= ； 绝对值等于4的数是__________。
3☆绝对值等于其相反数的数一定是（ ） A．负数 B．正数
C．负数或零 D．正数或零
4★ ，则x=______； ， 则 x=_______；
5★如果，则的取值范围是（ ）

A．＞O B．≥O C．≤O D．＜O．
6★★如果 ，则 ，

．
7★★绝对值不大于11的整数有（ ）


A．11个 B．12个

C．22个 D．23个
例:在数轴上表示绝对值不小于2而又不大于5.1的所有整数；并求出绝对值小于4的所有整数的和与积
-5
4
3
2
5
-2
-3
-4
绝对值小于4的所有整数的和:
绝对值小于4的所有整数的积:
(-3)+(-2)+(-1)+1+2+3+0= 0
0
(-3)×(-2)×(-1)×0 × 1×2×3= 0
1）绝对值小于2的整数有________。

2）绝对值等于它本身的数有___________。

3）绝对值不大于3的负整数有__________。

4)数a和b的绝对值分别为2和5，且在数轴上

表示a的点在表示b的点左侧，则b的值为 .
0，±1
零和正数
-1,-2,-3
5
练习1
练习2
1、若（x-1)2+|y+4|=0,则3x+5y=______
∵X-1=0,y+4=0, ∴x=1 ,y=-4
∴3x+5y=3×1+5×(-4)=3-20=-17
2、若|a-3|+ |3a-4b|=0,则-2a+8b=____
3、| 7 |=（　　），|- 7 |=（　　）
绝对值是7的数是（　　）
4、若|3-|+|4- |=_______
±７
７
７
1
5、已知|x|=3,|y|=2,且x∵|x|=3,|y|=2
∴x=±3,y=±2
∵ x∴x不能为3
∴x=-3,y=2 或 x=-3，y=-2
∴x+y=-3+2=-1 或 x+y=-3-2=-5
-1或-5
6、计算
7.有理数大小的比较
1）可通过数轴比较：
在数轴上的两个数，右边的数
总比左边的数大；
正数都大于0，负数都小于0；
正数大于一切负数；
2）两个负数，绝对值大的反而小。
即:若a＜0,b＜0,且︱a︱＞︱b︱,
则a ＜ b.
8.科学记数法、近似数与有效数字
1. 把一个大于10的数记成a×10n
的形式，其中a是整数数位只有一位
的数，这种记数法叫做科学记数法 .
2. 一个近似数，从左边第一个不是0
的数字起到，到精确到的数位止，所
有的数字，都叫做这个数的有效数字。
一只苍蝇的腹内细菌多达2800万个，

你能用科学记数法表示吗?

2800万个=2.8×103（万个)

或 2800万个=28 000 000个=2.8×107个
1.03×106有几位整数?

3.0×10n（n是正整数）有几位整数？

(n+1位整数）
（1 030 000）
（有7位整数）
例：下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位，各有几位有效数字？
（1）43.8（2）0.03086（3）2.4万
（4）6×104 （5）6.0×104
解：
（1）43.8精确到十分位.有3个有效数字：4，3，8；
（2）0.03086精确到十万分位，有四个有效数字：3，0，8，6；
（3）2.4万精确到千位，有2个有效数字：2，4；
（4） 6×104 精确到万位，有1个有效数字：6 ；
（5） 6.0×104 精确到千位，有2个有效数字：6 ，0；
[基础练习]
1☆用科学记数数表示：
①1305000000= ；
②-1020= .
2☆ 水星和太阳的平均距离约为57900000
km用科学记数法表示为 .
3★ 120万用科学记数法应写成 ；
2.4万的原数是 .
4★. 近似数3.5万精确到 位，有 个
有效数字.
5★近似数0.4062精确到 ，有 个有效数字.
6★5.47×105精确到 位，有 个有效数字。
7★3.4030×105保留两个有效数字是________，精确到千位是 。
8★★某数由四舍五入得到3.240，那么原来的数一定介于 和 之间。
9★★用四舍五入法求30951的近似值（要求保留三个有效数字），结果是 。
有理数的五种运算
1.运算法则
2.运算顺序
3.运 算 律
1.运算法则
1）有理数加法法则
2）有理数减法法则
3）有理数乘法法则
4）有理数除法法则
5）有理数的乘方
1)有理数加法法则
① 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加；
② 异号两数相加,取绝对值较大
的加数的符号,并用较大的绝对值
减去较小的绝对值；互为相反数
的两数相加得0；
③ 一个数同0相加,仍得这个数。
有理数加法法则应用举例：
①同号相加：
②异号相加
③与0相加
若a、b互为相反数，则a+b=
a是任一个有理数，则a+0=
0
a
（-5）+（-3）=-8
(+5)+(+3)=8
5+（-3）= 2
-5+（+3）= -2
2)有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
即 a-b=a+(-b)
例：分别求出数轴上两点间的距离：
①表示2的点与表示-7的点；
②表示-3的点与表示-1的点。
解：①2-(-7)=2+7=9
(或︱-7-2︱=︱-9︱=9)
②-1-(-3)=-1+3=2
3）有理数的乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；
任何数同0相乘，都得0.
① 几个不等于0的数相乘，积的符号
由负因数的个数决定，当负因数有奇
数个时，积为负；当负因数有偶数个
时，积为正.
② 几个数相乘，有一个因数为0，
积就为0.
①同号相乘
②异号相乘
③数与0相乘
a为任何有理数，则 a×0=
0
有理数乘法法则应用举例：
2×3=6
(-2)×3 = -6
(-2)×(-3)=6
2×(-3)= -6
④连乘
(-2)×(-3)×(-4) =-24
(-2)×3×(-4) =24
4)有理数除法法则
①除以一个数等于乘上这个数的倒数;

即
② 两数相除,同号得正,异号得负,
并把绝对值相除;
0除以任何一个不等于0的数,都
得0.
5)有理数的乘方
①求n个相同因数的积的运算,叫做乘方。
②正数的任何次幂都是正数；
负数的奇次幂是负数，
负数的偶次幂是正数.
-３的平方是（　　）
平方是９的数是（　　）
９
±３
９
±３
（1）2×32和（2×3)2有什么区别？各等于什么？
（2）32和23有什么区别？各等于什么？
（3）-34和（-3)4有什么区别？各等于什么？
练习
1）在 中，12是 数，10是
数，读作 ；
2） 的底数是 ，
指数是 ，读作 ；
7
底
指
12的10次方
12的10次幂
例: 计算：
下面的解题过程是否正确？如果有错误请加以订正。
改正：
2.运算顺序
1）有括号，先算括号里面的；
2）先算乘方，再算乘除，
最后算加减；
3）对只含乘除，或只含加减的
运算，应从左往右运算。
3.有理数的运算律
1)加法交换律
a+b=b+a
2)加法结合律
(a+b)+c=a+(b+c)
3)乘法交换律
ab=ba
4)乘法结合律
(ab)c=a(bc)
5)分 配 律
a(b+c)=ab+ac
解 题 技 能
加法四结合
1.凑整结合法 2.同号结合法
3.两个相反数结合法
4.同分母或易通分的分数结合法
A、5.6+(-0.9)+4.4+(-8.1)+(-1)
C、(+7)-(-15)+(-12)-(+7)
D、1-4+7-10+13-16+19-22
解 题 技 能
乘法三结合
1、积为整数结合
2、两个倒数结合
3、能约分的结合
分配律
分配律反着用
73、
分配律计算技巧
真假分配律
专题训练1 充分利用概念
互为相反数的两个数的和为0,互为倒数的积为1.绝对值是正数的有两个，且它们互为相反数
例：已知a、b互为相反数，c,d互为倒数，m是绝对值最小的数，求代数式
非负数性质的应用
数形结合的思想方法
已知︱a︱>︱b︱,且ａ<0,b>0,试比较a,b,-a,-b的大小
分类讨论的思想
比较1＋a与1－a的大小。
练习1、已知有理数a、b、c在数轴上的位置如图，化简|a|-|a+b|+|c-a|+|b+c||
b
a
0
c
拆项、合并法在计算中的应用
1、若a>0,b<0,且|a|<|b|,则a+b___0
特殊值法
2、若x<0,y>0,且|x|<|y|,则x+y__0
有理数的应用
1、某公交车上原有乘客22人，经过4个站点时上下车情况如下（上车为正、下车为负）（－6,+3），（－5,+4），（－3,+1），（－4,+1），问此时车上还有多少乘客
2、市话费在3分钟内一次计费0.22元，超过3分钟的每分钟0.11元，小华一次打了12分钟，问这次通话费多少元？
3、一辆汽车沿着一条南北方向的公路来回行驶某天从A地出发到晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天记录如下（单位千米）：
－9.5,+7.1,－14,－6.2,+13,－6.8,－8.5,请根据计算回答：
（1）B地在A地何方，相距多少千米？
（2）若汽车每千米耗油0.35升，那么这一天共耗油多少升？（结果保留三个有效数字）
4、蜗牛在井里距井口1米处它每天白天向上爬30cm,晚上又下滑20cm,则蜗牛爬出井口需要的天数为 （ ）
（A)11 (B)10 (C)9 (D)8