第一章 有理数复习
一、学习回顾
1. 现实中存在表示相反意义的量，小学学过的数不够用了
2. 引入小于0的数——负数
3. 目前学过的数：正整数、零、负整数、正分数、负分数
共性：可以写成分数（两个整数的比）的形式。
4. 有理数
定义：可以写成分数形式的数叫做有理数。
整数和分数统称有理数。
5. 数系扩充到有理数范围
一、学习回顾
6. 有理数分类
a) 按数的性质
b) 按数的符号
一、学习回顾
7. 数学思想：分类讨论
关键：不重不漏
8. 重新整理学过的数，借助新的工具——中学第一个图形工具
数轴
三要素：原点、正方向、单位长度
9. 数学思想：数形结合
10. 数轴上到原点距离是a(a>0)的点有两个，它们分别在原点左右两侧，表示-a和a，这两点关于原点对称
一、学习回顾
11. 相反数（借助数轴引入）
a) 代数意义（定义）：
只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
b) 几何意义（性质）：
在数轴上表示相反数的两点在原点两侧，且到原点距离相等。
12. a的相反数是-a
13. 数学思想：代数（用字母表示数）
一、学习回顾
14. 相反数概念中提到了数轴上点到原点的距离——绝对值（借助数轴引入）
a) 几何意义：
数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值
b) 代数意义：
一、学习回顾
15. 一个数是由它的符号和绝对值两部分组成——有理数运算的“两步走”实质——绝对值的直接应用
16. 有理数的加减法——代数和——转化为加法运算
17. 有理数的四则运算：三转化——减法转化为加法，除法转化为乘法，小数转化为分数
18. 相同加数的加法——乘法
相同因数的乘法——乘方
19. 表示大数的方法——科学记数法
20. 近似数与有效数字
二、专题拓展
专题一：有理数的运算
1、有理数加法法则
专题一：有理数的运算
2、有理数乘法、除法法则
（1）乘法法则
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。0乘以任何一个数都得0。
（2）除法法则
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数都得0。
专题一：有理数的运算
3、有理数减法、除法法则
（1）减法法则
减去一个数等于加上这个数的相反数。
（2）除法法则
除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数。
专题一：有理数的运算
4、运算律
专题一：有理数的运算
5、有理数的混合运算
（1）有括号时，按小、中、大顺序运算；
（2）同括号内，按三级（乘方）——二级（乘除）——一级（加减）的顺序运算；
（3）同级运算，从左到右依次进行；
（4）同加减时，化减为加（代数和），任意结合；
（5）同乘除时，化除为乘，整体约分。
专题一：有理数的运算
6、六种运算
专题二：相反数和倒数
专题二：相反数和倒数
-3
-1
专题三：一个数的相反数、倒数、绝对值、乘方与自身的关系
1. 相反数等于它本身的数：0
2. 倒数等于它本身的数：-1、1
倒数等于它相反数的数：没有
3. 绝对值等于它本身的数：非负数
绝对值等于它相反数的数：非正数
绝对值等于它倒数的数：1
4. 平方等于本身的数：0、1
平方等于它相反数的数：0、-1
平方等于它倒数的数：1
5. 立方等于本身的数：-1、0、1
立方等于它相反数的数：0
立方等于它倒数的数：-1、1
专题四：关于0的性质
1. 0是有理数，是整数，不是分数。
2. 0可以表示为分子为0、分母为任意非零整数的分数。
3. 0既不是正数，也不是负数。
4. 0和正整数统称为自然数（非负整数）。
5. 0的相反数是0。
6. 0的绝对值是0。
7. 0没有倒数。
8. 0乘任何数都得0。
9. 0除以任何不等于0的数都得0。
10. 几个数相乘，有一个因数为0，则积为0。
11. 0的任何正整数次幂都得0。
专题五：有理数比较大小
1. 数轴法（数形结合）
在数轴上，右边的点表示的数大于左边的点表示的数。
2. 绝对值法（两个负数比较大小）
两个负数，绝对值大的反而小。
3. 作差法

4. 作商法（两个正数比较大小）
5. 倒数法
两个有理数，倒数大的反而小。
专题五：有理数比较大小
解：先确定a和-a的位置，再确定b和-b的位置，然后根据a和-b的位置确定a-b和b-a的位置。
专题六：非负性
1. 绝对值的非负性：
2. 偶次幂的非负性：
应用：几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0。
专题六：非负性
专题七：绝对值问题拓展
1. 化简——运用转化思想去掉绝对值符号
（1）多层绝对值化简问题，可根据已知条件由内向外逐层去掉绝对值符号。
专题七：绝对值问题拓展
1. 化简——运用转化思想去掉绝对值符号
（2）多个绝对值符号的化简，需同时确定每个绝对值内代数式值的正负性，借助数轴分类讨论。
常用方法：零点分段法
专题七：绝对值问题拓展
分析：要去掉三个绝对值号，就要同时确定三个绝对值号里的代数式的正负性，采用零点分段法将数轴分成四段再化简。
专题七：绝对值问题拓展
2. 的几何意义
专题七：绝对值问题拓展
3
3
4
1或-3
专题七：绝对值问题拓展
专题七：绝对值问题拓展
3. 几个绝对值之和的最值问题
专题七：绝对值问题拓展
3. 几个绝对值之和的最值问题
专题七：绝对值问题拓展
3. 几个绝对值之和的最值问题
小结：几个绝对值相加
（1）若有奇数个点，x取中间一点的值时，原式取得最小值；
（2）若有偶数个点，x取中间两点之间（含中间两点）的值时，原式取得最小值。
专题八：计算题易错点
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