2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.4 弧长和扇形面积
一、选择题（共14小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π C．π D．π
2．若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．9 C．2 D．3
3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． + B． +π C．﹣ D．2+
4．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
7．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π B．24π C．6π D．36π
8．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4
9．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16
10．如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2 B．π﹣ C．π D．2
11．如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣2 D．π﹣1
13．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
二、填空题（共15小题）
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 （结果保留π）．
17．一个扇形的半径为3cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为 度．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4．以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留π）
19．如图，已知A（2，2）、B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（﹣2，2）的位置，则图中阴影部分的面积为 ．
20．已知扇形的圆心角为120°，弧长为6π，则扇形的面积是 ．
21．如图，半圆O的直径AE=4，点B，C，D均在半圆上，若AB=BC，CD=DE，连接OB，OD，则图中阴影部分的面积为 ．
22．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标（﹣2，0），△ABO是直角三角形，∠AOB=60°．现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为 ．
23．如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°，则图中阴影部分的面积等于 ．
24．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为 （结果保留π）．
25．如图，P为⊙O外一点，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，PA=，∠P=60°，则图中阴影部分的面积为 ．
26．如图，六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为 ．
27．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，斜边AB=2，O是AB的中点，以O为圆心，线段OC的长为半径画圆心角为90°的扇形OEF，弧EF经过点C，则图中阴影部分的面积为 ．
28．为美化小区环境，决定对小区的一块空地实施绿化，现有一长为20m的栅栏，要围成一扇形绿化区域，则该扇形区域的面积的最大值为 ．
29．如图，某实践小组要在广场一角的扇形区域内种植红、黄两种花，半径OA=4米，C是OA的中点，点D在上，CD∥OB，则图中种植黄花（即阴影部分）的面积是 （结果保留π）．
三、解答题（共1小题）
30．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠ABC=2∠D，连接OA、OB、OC、AC，OB与AC相交于点E．
（1）求∠OCA的度数；
（2）若∠COB=3∠AOB，OC=2，求图中阴影部分面积（结果保留π和根号）
2016年人教版九年级数学上册同步测试：24.4 弧长和扇形面积
参考答案与试题解析
一、选择题（共14小题）
1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，且E为OB的中点，∠CDB=30°，CD=4，则阴影部分的面积为（ ）
A．π B．4π C．π D．π
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】首先证明OE=OC=OB，则可以证得△OEC≌△BED，则S阴影=半圆﹣S扇形OCB，利用扇形的面积公式即可求解．
【解答】解：连结BC．
∵∠COB=2∠CDB=60°，
又∵OB=OC，∴△OBC是等边三角形．
∵E为OB的中点，∴CD⊥AB，
∴∠OCE=30°，CE=DE，
∴OE=OC=OB=2，OC=4．
S阴影==．
故选D．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，证明△OEC≌△BED，得到S阴影=半圆﹣S扇形OCB是本题的关键．
2．若扇形面积为3π，圆心角为60°，则该扇形的半径为（ ）
A．3 B．9 C．2 D．3
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】已知了扇形的圆心角和面积，可直接根据扇形的面积公式求半径长．
【解答】解：扇形的面积==3π．
解得：r=3．
故选D．
【点评】本题主要考查了扇形的面积公式=．熟练将公式变形是解题关键．
3．如图，菱形ABCD的边长为2，∠A=60°，以点B为圆心的圆与AD、DC相切，与AB、CB的延长线分别相交于点E、F，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． + B． +π C．﹣ D．2+
【考点】扇形面积的计算；菱形的性质；切线的性质．菁优网版权所有
【分析】设AD与圆的切点为G，连接BG，通过解直角三角形求得圆的半径，然后根据扇形的面积公式求得三个扇形的面积，进而就可求得阴影的面积．
【解答】解：设AD与圆的切点为G，连接BG，
∴BG⊥AD，
∵∠A=60°，BG⊥AD，
∴∠ABG=30°，
在直角△ABG中，BG=AB=×2=，AG=1，
∴圆B的半径为，
∴S△ABG=×1×=
在菱形ABCD中，∠A=60°，则∠ABC=120°，
∴∠EBF=120°，
∴S阴影=2（S△ABG﹣S扇形ABG）+S扇形FBE=2（﹣）+=+．
故选A．
【点评】此题主要考查了菱形的性质以及切线的性质以及扇形面积等知识，正确利用菱形的性质和切线的性质求出圆的半径是解题关键．
4．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆，交弦AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣1 B．2π﹣1 C．π﹣1 D．π﹣2
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故选A．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，不规则图形面积的求法，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
5．如图，某数学兴趣小组将边长为3的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得扇形DAB的面积为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【分析】由正方形的边长为3，可得弧BD的弧长为6，然后利用扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．
【解答】解：∵正方形的边长为3，
∴弧BD的弧长=6，
∴S扇形DAB==×6×3=9．
故选D．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，解题的关键是：熟记扇形的面积公式S扇形DAB=．
6．如图，在矩形ABCD中，CD=1，∠DBC=30°．若将BD绕点B旋转后，点D落在DC延长线上的点E处，点D经过的路径，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．﹣ B．﹣ C．﹣ D．﹣
【考点】扇形面积的计算．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】先由矩形的性质可得：∠BCD=90°，然后根据CD=1，∠DBC=30°，可得BD=2CD=2，然后根据勾股定理可求BC=，然后由旋转的性质可得：BE=BD=2，然后再根据扇形的面积公式及三角形的面积公式计算扇形DBE的面积和三角形BCD的面积，然后相减即可得到图中阴影部分的面积．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BCD=90°，
∵CD=1，∠DBC=30°，
∴BD=2CD=2，
由勾股定理得BC==，
∵将BD绕点B旋转后，点D落在BC延长线上的点E处，
∴BE=BD=2，
∵S扇形DBE===，
S△BCD=•BC•CD==，
∴阴影部分的面积=S扇形DBE﹣S△BCD=﹣．
故选B．
【点评】此题主要考查了矩形的性质，扇形的面积和三角形的面积计算，关键是掌握扇形的面积公式：S=．
7．如图，直径AB为12的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．12π B．24π C．6π D．36π
【考点】扇形面积的计算；旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】根据题意得出AB=AB′=12，∠BAB′=60°，根据图形得出图中阴影部分的面积S=+π×62﹣π×62，求出即可．
【解答】解：∵AB=AB′=12，∠BAB′=60°
∴图中阴影部分的面积是：
S=S扇形B′AB+S半圆O′﹣S半圆O
=+π×62﹣π×62
=24π．
故选B．
【点评】本题考查的是扇形的面积及旋转的性质，通过做此题培养了学生的计算能力和观察图形的能力，题目比较好，难度适中．
8．如图，已知扇形AOB的半径为2，圆心角为90°，连接AB，则图中阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣2 B．π﹣4 C．4π﹣2 D．4π﹣4
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【专题】压轴题．
【分析】由∠AOB为90°，得到△OAB为等腰直角三角形，于是OA=OB，而S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB．然后根据扇形和直角三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：S阴影部分=S扇形OAB﹣S△OAB
=
=π﹣2
故选：A．
【点评】本题考查了扇形面积的计算，是属于基础性的题目的一个组合，只要记住公式即可正确解出．关键是从图中可以看出阴影部分的面积是扇形的面积减去直角三角形的面积．
9．如图，等腰直角△ABC中，AB=AC=8，以AB为直径的半圆O交斜边BC于D，则阴影部分面积为（结果保留π）（ ）
A．24﹣4π B．32﹣4π C．32﹣8π D．16
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【分析】连接AD，因为△ABC是等腰直角三角形，故∠ABD=45°，再由AB是圆的直径得出∠ADB=90°，故△ABD也是等腰直角三角形，所以=，S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD由此可得出结论．
【解答】解：连接AD，OD，
∵等腰直角△ABC中，
∴∠ABD=45°．
∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∴△ABD也是等腰直角三角形，
∴=．
∵AB=8，
∴AD=BD=4，
∴S阴影=S△ABC﹣S△ABD﹣S弓形AD=S△ABC﹣S△ABD﹣（S扇形AOD
﹣S△ABD）=×8×8﹣×4×4﹣+××4×4=16﹣4π+8=24﹣4π．
故选A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
10．如图，已知⊙O的周长为4π，的长为π，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π﹣2 B．π﹣ C．π D．2
【考点】扇形面积的计算；弧长的计算．菁优网版权所有
【分析】首先根据⊙O的周长为4π，求出⊙O的半径是多少；然后根据的长为π，可得的长等于⊙O的周长的，所以∠AOB=90°；最后用⊙O的面积的减去△AOB的面积，求出图中阴影部分的面积为多少即可．
【解答】解：∵⊙O的周长为4π，
∴⊙O的半径是r=4π÷2π=2，
∵的长为π，
∴的长等于⊙O的周长的，
∴∠AOB=90°，
∴S阴影==π﹣2．
故选：A．
【点评】此题主要考查了扇形面积的计算，以及弧长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确求阴影面积常用的方法：①直接用公式法；②和差法；③割补法．
11．如图，已知⊙O的一条直径AB与弦CD相交于点E，且AC=2，AE=，CE=1，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；圆周角定理；解直角三角形．菁优网版权所有
【分析】由AC=2，AE=，CE=1，根据勾股定理的逆定理可判断△ACE为直角三角形，然后由sinA=，可得∠A=30°，然后根据圆周角定理可得：∠COB=60°，然后由∠AEC=90°，可得AE⊥CD，然后根据垂径定理可得：，进而可得：∠BOD=∠COB=60°，进而可得∠COD=120°，然后在Rt△OCE中，根据sin∠COE=，计算出OC的值，然后根据扇形的面积公式：S扇形DAB=，计算即可．
【解答】解：∵AE2+CE2=4=AC2，
∴△ACE为直角三角形，且∠AEC=90°，
∴AE⊥CD，
∴，
∴∠BOD=∠COB，
∵sinA==，
∴∠A=30°，
∴∠COB=2∠A=60°，
∴∠BOD=∠COB=60°，
∴∠COD=120°，
在Rt△OCE中，
∵sin∠COE=，
即sin60°=，
解得：OC=，
∴S扇形OCD===．
故选D．
【点评】此题考查了扇形的面积公式，勾股定理的逆定理，圆周角定理及解直角三角形等知识，解题的关键是：据勾股定理的逆定理判断△ACE为直角三角形．
12．如图，在半径为2，圆心角为90°的扇形内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是（ ）
A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣2 D．π﹣1
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【分析】已知BC为直径，则∠CDB=90°，在等腰直角三角形ABC中，CD垂直平分AB，CD=DB，D为半圆的中点，阴影部分的面积可以看做是扇形ACB的面积与△ADC的面积之差．
【解答】解：在Rt△ACB中，AB==2，
∵BC是半圆的直径，
∴∠CDB=90°，
在等腰Rt△ACB中，CD垂直平分AB，CD=BD=，
∴D为半圆的中点，
∴S阴影部分=S扇形ACB﹣S△ADC=π×22﹣×（）2=π﹣1．
故选D．
【点评】本题主要考查扇形面积的计算，在解答此题时要注意不规则图形面积的求法．
13．如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，BC=4，将△ABC绕点A逆时针旋转30°后得到△ADE，点B经过的路径为，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．π B．π C．π D．π
【考点】扇形面积的计算；勾股定理的逆定理；旋转的性质．菁优网版权所有
【分析】根据AB=5，AC=3，BC=4和勾股定理的逆定理判断三角形的形状，根据旋转的性质得到△AED的面积=△ABC的面积，得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积，根据扇形面积公式计算即可．
【解答】解：∵AB=5，AC=3，BC=4，
∴△ABC为直角三角形，
由题意得，△AED的面积=△ABC的面积，
由图形可知，阴影部分的面积=△AED的面积+扇形ADB的面积﹣△ABC的面积，
∴阴影部分的面积=扇形ADB的面积==，
故选：A．
【点评】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质和勾股定理的逆定理，根据图形得到阴影部分的面积=扇形ADB的面积是解题的关键．
14．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是AB的中点，以E为圆心，ED为半径作半圆，交A、B所在的直线于M、N两点，分别以直径MD、ND为直径作半圆，则阴影部分面积为（ ）
A．9 B．18 C．36 D．72
【考点】扇形面积的计算；勾股定理．菁优网版权所有
【专题】压轴题．
【分析】根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积，MN的半圆的直径，从而可知∠MDN=90°，在Rt△MDN中，由勾股定理可知：MN2=MD2+DN2，从而可得到两个小半圆的面积=大半圆的面积，故此阴影部分的面积=△DMN的面积，在Rt△AED中，DE===3，所以MN=6，然后利用三角形的面积公式求解即可．
【解答】解：根据图形可知阴影部分的面积=两个小的半圆的面积+△DMN的面积﹣大半圆的面积．
∵MN的半圆的直径，
∴∠MDN=90°．
在Rt△MDN中，MN2=MD2+DN2，
∴两个小半圆的面积=大半圆的面积．
∴阴影部分的面积=△DMN的面积．
在Rt△AED中，DE===3，
∴阴影部分的面积=△DMN的面积==．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是求不规则图形的面积，将不规则图形的面积转化为规则图形的面积是解答此类问题的常用方法，发现阴影部分的面积=△DMN的面积是解题的关键．
二、填空题（共15小题）
15．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作交OB于点D．若OA=2，则阴影部分的面积为 + ．
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【专题】压轴题．
【分析】连接OE、AE，根据点C为OC的中点可得∠CEO=30°，继而可得△AEO为等边三角形，求出扇形AOE的面积，最后用扇形AOB的面积减去扇形COD的面积，再减去S空白AEC即可求出阴影部分的面积．
【解答】解：连接OE、AE，
∵点C为OA的中点，
∴∠CEO=30°，∠EOC=60°，
∴△AEO为等边三角形，
∴S扇形AOE==π，
∴S阴影=S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）
=﹣﹣（π﹣×1×）
=π﹣π+
=+．
故答案为： +．
【点评】本题考查了扇形的面积计算，解答本题的关键是掌握扇形的面积公式：S=．
16．如图，在边长为4的正方形ABCD中，先以点A为圆心，AD的长为半径画弧，再以AB边的中点为圆心，AB长的一半为半径画弧，则两弧之间的阴影部分面积是 2π （结果保留π）．
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【分析】根据题意有S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，然后根据扇形的面积公式：S=和圆的面积公式分别计算扇形和半圆的面积即可．
【解答】解：根据题意得，S阴影部分=S扇形BAD﹣S半圆BA，
∵S扇形BAD==4π
S半圆BA=•π•22=2π，
∴S阴影部分=4π﹣2π=2π．
故答案为2π．
【点评】此题考查了扇形的面积公式：S=，其中n为扇形的圆心角的度数，R为圆的半径），或S=lR，l为扇形的弧长，R为半径．
17．一个扇形的半径为3cm，面积为π cm2，则此扇形的圆心角为 40 度．
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【分析】设扇形的圆心角是n°，根据扇形的面积公式即可得到一个关于n的方程，解方程即可求解．
【解答】解：设扇形的圆心角是n°，
根据题意可知：S==π，
解得n=40°，
故答案为40．
【点评】本题考查了扇形的面积公式，正确理解公式S=是解题的关键，此题难度不大．
18．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=4．以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则图中阴影部分的面积是 8﹣2π ．（结果保留π）
【考点】扇形面积的计算；等腰直角三角形．菁优网版权所有
【分析】根据等腰直角三角形性质求出∠A度数，解直角三角形求出AC和BC，分别求出△ACB的面积和扇形ACD的面积即可．
【解答】解：∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴∠A=∠B=45°，
∵AB=4，
∴AC=BC=AB×sin45°=4，
∴S△ACB===8，S扇形ACD==2π，
∴图中阴影部分的面积是8﹣2π，
故答案为：8﹣2π．
【点评】本题考查了扇形的面积，三角形的面积，解直角三角形，等腰直角三角形性质的应用，解此题的关键是能求出△ACB和扇形ACD的面积，难度适中．
19．如图，已知A（2，2）、B（2，1），将△AOB绕着点O逆时针旋转，使点A旋转到点A′（﹣2，2）的位置，则图中阴影部分的面积为 π ．
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【分析】由A（2，2）使点A旋转到点A′（﹣2，2）的位置易得旋转90°，根据旋转的性质可得，阴影部分的面积等于S扇形A'OA﹣S扇形C'OC，从而根据A，B点坐标知OA=4，OC=OB=，可得出阴影部分的面积．
【解答】解：∵A（2，2）、B（2，1），
∴OA=4，OB=，
∵由A（2，2）使点A旋转到点A′（﹣2，2），
∴∠A′OA=∠B′OB=90°，
根据旋转的性
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