24．4　弧长和扇形面积(2课时)
第1课时　弧长和扇形面积公式



1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算．
2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式，并能利用扇形面积公式进行相关计算．


重点
弧长和扇形面积公式的推导过程以及公式的应用．
难点
类比弧长公式的推导来获得扇形面积公式的推导过程．


活动1　创设情境
这是章前图中的车轮的一部分，如果一只蚂蚁从点O出发，爬到A处，再沿弧AB爬到B处，最后回到点O处，若车轮半径OA长60 cm，∠AOB＝108°，你能算出蚂蚁所走的路程吗？这就涉及到计算弧长的问题，也是本节课要研究的第一问题．


活动2　探究新知
思考：1.弧是圆的一部分，想一想，如何计算圆周长？
2．圆周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？
3．1°的圆心角所对的弧长是多少？2°的圆心角所对的弧长是多少？3°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长又是多少呢？
4．推导出弧长公式l＝，强调n表示1°的圆心角的倍数，n不带单位，180也如此．
5．对于公式l＝，当R一定时，你能从函数的角度来理解弧长l和圆心角n的关系吗？
活动3　达标检测1
1．学生运用公式计算活动1中的问题．
2．解决教材第111页的例1.
3．完成教材第113页的练习第1，2题．
4．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是(　　)
A．6π　　　　B．4π　　　　C．2π　　　　D．π
答案：4.B
活动4　自主探究
1．观察问题1中蚂蚁所围成的图形是什么？请学生独立阅读教材第112页第1自然段．
2．我们知道弧是圆的一部分，所以我们把弧长的问题转化为圆周长的问题来解决．那么扇形呢？你能类比弧长的推导方式求出扇形的面积公式吗？
3．比较弧长公式和扇形面积公式，请推导出扇形面积和对应弧长的关系．
活动5　反馈新知
1．已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm2，则扇形的圆心角是________°，扇形的弧长是________cm.(结果保留π)(答案：120，2π)
2．师生共同完成教材第112页例2.
3．完成教材第113页练习第3题．
4．如图，已知扇形的圆心角是直角，半径是2，则图中阴影部分的面积是________．(结果不计算近似值)(答案：π－2)


5．方法小结：
问题1：求一个图形的面积，而这个图形是未知图形时，我
们应该把未知图形化为什么图形呢？
问题2：通过以前的学习，我们又是通过什么方式把未知图形化为已知图形的呢？
活动6　达标检测2
1．120°的圆心角所对的弧长是12π cm，则此弧所在的圆的半径是________．
2．如图，在4×4的方格中(共有16个方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)


3．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．


答案：1.18 cm；2.π；3.－－π.
活动7　课堂小结与作业布置
课堂小结
1．弧长公式是什么？扇形的面积公式呢？是怎样推导出来的？如何理解这两个公式？这两个公式有什么作用？这两个公式有什么联系？
2．在解决部分与整体关系的问题时，我们应学会用什么方法去解决？
3．解决不规则图形的面积问题时，我们应用什么数学思想去添加辅助线？
作业布置
教材第115页　习题24.4第1题的(1)，(2)题，第2～8题．

第2课时　圆锥的侧面积和全面积



了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．
通过创设情境和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．


重点
圆锥侧面积和全面积的计算公式．
难点
探索两个公式的由来．



一、复习引入
1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．
2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．


老师点评：(1)n°圆心角所对弧长：l＝，S扇形＝，公式中没有n°，而是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R2，分母是360，两者要记清，不能混淆．
(2)太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积．这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．
二、探索新知
我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同样道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
(学生分组讨论，提问两三位同学)
问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．


老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S＝，其中n可由2πr＝求得：n＝，∴扇形面积S＝＝πrl；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积＝πrl＋πr2.
例1　圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？(结果精确到0.1 cm2)
分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸，只要计算纸帽的侧面积即可．
解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则
r＝，
l＝≈22.03，
S纸帽侧＝πrl≈×58×22.03＝638.87(cm)，
638．87×20＝12777.4(cm2)，
所以，至少需要12777.4 cm2的纸．
例2　已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm2.
(1)求扇形的弧长；
(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？
分析：(1)由S扇形＝求出R，再代入l＝求得．(2)若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以直径为底，圆锥母线为腰的等腰三角形．



解：(1)如图所示：
∵300π＝，
∴R＝30，
∴弧长l＝＝20π(cm)，


(2)如图所示：
∵20π＝2πr，
∴r＝10，R＝30，
AD＝＝20，
∴S轴截面＝×BC×AD
＝×2×10×20＝200(cm2)，
因此，扇形的弧长是20π cm，卷成圆锥的轴截面是200 cm2.
三、巩固练习
教材第114页　练习1，2.
四、课堂小结
(学生归纳，老师点评)
本节课应掌握：
1．什么叫圆锥的母线．
2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．
五、作业布置
教材第115～116页　习题6，8，10.