2.3.1等差数列的前n项和
泰姬陵坐落于印度距首都新德里200多公里外的北方邦的阿格拉市，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑令人心醉神迷，陵寝以宝石镶嵌，图案细致,绚丽夺目、美丽无比，令人叫绝.成为世界八大奇迹之一.
问题呈现

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
问题1：
一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放100支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
问题就是 求“1+2+3+4+…+100=？”
德国古代著名数学家高斯10岁的时候很快就解决了这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？你知道高斯是怎样算出来的吗？
高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，是历史上最伟大的数学家之一，被誉为“数学王子”.
问题2:
求和:1+2+3+4+…+n=?
记:S= 1 + 2 + 3 +…+(n-2)+(n-1)+n
S= n+(n-1)+(n-2)+…+ 3 + 2 +1
上述求解过程带给我们什么启示？
(1)所求的和可以用首项、末项及项数来表示；
(2)等差数列中任意的第k项与倒数第k项的和都等于首项与末项的和。
问题3：设等差数列 {an} 的首项为a1，公差为d，如何求等差数列的前n项和Sn= a1 +a2+a3+…+an?
解：
因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…
两式左右分别相加，得
倒序相加
S=a1+ a2 +a3 +…+an-2+an-1+an
S=an+an-1+an-2+…+a3 + a2 +a1
2Sn=(a1+an)+ (a2+an-1)+ (a3+an-2)+…+
(an-2+a3)+ (an-1+a2)+ (an+a1)=n(a1+an)
变式：能否用
a1,n,d表示Sn？
an=a1+(n-1)d
求和公式
等差数列的前n项和的公式：
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
a1
an
例1:根据下列条件，求相应的等差数列 的
例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
分析：①找关键句；
②求什么，如何求；
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为：
答
例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
解：由于S10＝310，S20＝1220，将它们代入公式
可得
所以
例4、已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前n项和的公式吗？
另解：

两式相减得
小结
1．等差数列前n项和的公式；
2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；

3.公式的应用(知三求一)。
（两个）
2.3.2等差数列的前n项和
2、等差数列{an}的前n项和公式
复习
1、等差数列{an}的基本性质：
(1) a1+an=a2+an-1=a3+an-2=···
(3)如果数列{an}的通项公式是 an=An+B
(A、B是与n无关的常数），那么数列{an}一定是等差数列。
练习1、计算
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
-n
n2
3230
提示：n=76
法二：
练习2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
若a4+a5=18，则S8等于（ ）
A.18 B.36 C.54 D.72
D
新课：例1
例2
运用等差中项的性质处理求和问题
例3 等差数列{an}中，已知a11=8,则s21= .
168
练1 等差数列{an}中，已知s15=90,则a8= .
6
例4、等差数列中前15项的和为-67，前45项的和为405，则前30项的和为 。
解：由 S15， S30 – S15， S45 – S30 构成等差数列得 2（ S30 – S15 ）= S15 + （ S45 – S30 ）
故S30 = （3 S15 + S45 ）/3=68
运用等差数列的性质处理求和问题
例3 求集合 的元素个数，并求这些元素的和.
解：
所以集合M中的元素共有14个.
将它们从小到大列出，得
即 7，14，21，28，…，98
这个数列是成等差数列，记为
答：集合M共有14个元素，它们的和等于735.
补充：两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…200,由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列,求这个新数列的各项之和.
解法：通项公式分别是an=2+(n－1)·4
bn=2+(n－1)·6
观察：
2，6，10，14，18，22，26，30，34，38，42，46，50，…
2，8，14，20，26，32，38，77，50，39，43，47，51，…
因此，这两个数列相同项组成一个首项c1=2,
公差 d=12的等差数列｛cn｝