2.3 等差数列的前n项和
第一课时
问题提出
1.等差数列的内涵特征是什么？ 如何用递推公式描述？
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.
或an－1＋an＋1＝2 an(n≥2).
2.等差数列的通项公式是什么？
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋q.
a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝….
4.数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前n项和.对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题.
等差数列的
求和公式
知识探究（一）：求和公式的推导
思考2：200多年前，高斯的算术老师提出了下面的问题：
1＋2＋3＋…＋100＝？
据说高斯很快就算出了正确答案,你知道他是如何计算的吗?
(1＋100)＋(2＋99)＋…＋(50＋51)＝101×50＝5050.
思考3：高斯的算法实际上解决了求等差数列1，2，3，…，n，…前100项的和的问题，利用这个算法，1＋2＋3＋…＋n等于什么？
思考5： 就是等差数列
的前n项和公式，用文字语言如何表述这个公式？
等差数列前n项和等于首项与末项的和的一半与项数的积.
知识探究（二）：求和公式的变通
思考2：将an＝a1＋(n－1)d代入等差数列前n项和公式，则求和公式变形为什么？
思考3：将a1＝an－(n－1)d代入等差数列前n项和公式，则求和公式变形为什么？
思考4：如何用a1，an，d三个元素表示Sn？
理论迁移
例1 在等差数列{an}中，已知
，求S7.
例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元，为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程的总投入是多少？市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？
S10＝7250（万元）.
例3 已知一个等差数列{an}的前10项
的和是310，前20项的和是1220，求这
个等差数列的前n项和.
小结作业
1.凡是与首末两端等距离的两项之和相等的数列，都可以用倒序相加法求前n项和.
3.求等差数列前n项和，一般需要三个条件，解题时常需要将已知条件进行转化，有时可用整体思想求a1＋an.
作业：
P45练习：1.
P46习题2.3A组：2，3, 4.
第二课时
2.3 等差数列的前n项和
问题提出
1.等差数列的递推公式是什么？
an－1＋an＋1＝2an（n≥2）
2.等差数列的通项公式是什么？在结构上它有什么特征？
3.等差数列前n项和的两个基本公式是什么？
在结构上是关于n的一次函数.
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋q.
4.深入研究等差数列的概念与前n项和公式及通项公式的内在联系，可发掘出等差数列的一系列性质，我们将对此作些简单探究.
等差数列前n
项和的性质
探究（一）：等差数列与前n项和的关系
思考2：将等差数列前n项和公式

看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？
当d≠0时，Sn是常数项为零的二次函数.
思考3：一般地，若数列{an}的前n和
Sn＝pn2＋qn，那么数列{an}是等差数列
吗？若Sn＝pn2＋qn＋r呢？
思考4：若{an}为等差数列，那么
是什么数列？
思考5：等差数列的求和公式可化为

一般地，若数列{an}的前n和

那么数列{an}是等差数列吗？
探究（二）：等差数列前n项和的性质
思考1：在等差数列{an}中，Sn，S2n，S3n三者之间有什么关系？
S3n＝3(S2n－Sn)
S1－S2＝nd，
思考3：设等差数列{an}、{bn}的前n项
和分别为Sn、Tn，则 等于什么？
思考4：在等差数列{an}中，若a1＞0， d＜0，则Sn是否存在最值？如何确定其最值？
当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大.
理论迁移
例1 设等差数列
的前n项和为Sn，求当n为何值时Sn取最大值.
n＝7或8
-82
小结作业
1.以等差数列前n项和为背景可引发出许多性质，作为研究性学习，其结论不要求记忆，但要了解探究这些性质的数学思想、方法和技巧，并在解题中灵活运用.
2.等差数列的定义、通项公式、求和公式是等差数列的基本知识点，在运用中具有很大的灵活性和较强的技巧性，适当了解等差数列的一些基本性质，会给解题带来一定的帮助.
3.在等差数列的基本运算中，要注意整体代入，回避非必求量，简化运算过程，提高解题效率.对于与前n项和有关的问题，不一定要用求和公式，有时作非公式化处理更简单.
作业：
P45练习：2，3.
P46习题2.3A组：5，6.
2.3 等差数列的前n项和
第三课时
知识整理
1.等差数列的定义特征
从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数.
或an－1＋an＋1＝2 an(n≥2).
2.等差数列的递推公式
3.等差数列的通项公式
an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d＝pn＋q.
4.等差数列的前n项和公式
4.等差数列的主要性质
（1）若数列{an}、{bn}都是等差数列，
则数列{pan}，{an＋an＋1}，{an＋bn}，
{an－bn}也是等差数列.
（4）S3n＝3(S2n－Sn).
(6）当ak≥0，ak＋1＜0时，Sk为最大;
当ak≤0，ak＋1＞0时，Sk为最小.
应用举例
例1 已知一个等差数列共有偶数项，其中偶数项之和为30，奇数项之和为24，末项与首项之差为10.5，求这个等差数列的首项、公差和项数.
首项为
例2 已知一个等差数列的前12项之和
为354，且前12项中偶数项的和与奇数
项的和之比为32：27，求这个等差数列
的公差.
例3 已知等差数列{an}的前n项和
,求数列{|an|}的前n项和 .
例4 在等差数列{an}中，已知a1＝2，
S10＝0，求a11＋a12＋…＋a20的值.
作业：
P46习题2.3B组：1,2,3,4.