2.3等差数列的前n项和（1）
复习引入
1. 等差数列定义：
即an－an－1 ＝d (n≥2).
2. 等差数列通项公式：
(1) an＝a1＋(n－1)d (n≥1).
(2) an＝am＋(n－m)d .
(3) an＝pn＋q (p、q是常数)
复习引入
3. 几种计算公差d的方法:
复习引入
4. 等差中项
成等差数列.
m＋n＝p＋q  am＋an＝ap＋aq.
(m，n，p，q∈N)
5. 等差数列的性质
7.数列的通项公式能反映数列的基本特性，在实际问题中常常需要求数列的前n项和.对于等差数列，为了方便运算，我们希望有一个求和公式，这是一个有待研究的课题.
复习引入
等差数列的
求和公式
高斯（Gauss,1777—1855），德国著名数学家，他研究的内容涉及数学的各个领域，被称为历史上最伟大的三位数学家之一，他与阿基米德、牛顿齐名，是数学史上一颗光芒四射的巨星，被誉为“数学王子”.
有一次，老师与高斯去买铅笔，在商店发
现了一个堆放铅笔的V形架，
V形架的最下面一层放
一支铅笔，往上每一层
都比它下面一层多放一
支，最上面一层放100支.
老师问：高斯，你知道这
个V形架上共放着多少支铅笔吗？
创设情景
问题就是：
计算1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯的算法
计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100
高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组：
第一个数与最后一个数一组；
第二个数与倒数第二个数一组；
第三个数与倒数第三个数一组，……
每组数的和均相等，都等于101，50个101就等于5050了。高斯算法将加法问题转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
首尾配对相加法
中间的一组数是什么呢？
问题呈现

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
这是求奇数个项和的问题，不能简单模仿偶数个项求和的办法，需要把中间项11看成首、尾两项1和21的等差中项。
通过前后比较得出认识：高斯“首尾配对” 的算法还得分奇、偶个项的情况求和。
有无简单的方法？
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
借助几何图形之直观性，把这个“全等三角形”倒置，与原图补成平行四边形。
探究发现
问题：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
探究了以上两个实际问题的求和，我们对数列求和有了一定的认识，那么能否将“倒序相加法”推广到任意一个等差数列呢？
这种方法不需分奇、偶个项的情况就可以求和，很有创意，用数学式子表示就是：
1+ 2+ 3+ 4+……+21
21+20+19+18+……+1
对齐相加（其中下第二行的式子与第一行的式子恰好是倒序）
这实质上是我们数学中一种求和的重要方法
倒序相加法
倒序相加法
若V形架的的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层
多放一支，最上面
一层有很多支铅笔，
老师说有n支。问：
这个V形架上共放
着多少支铅笔？
创设情景
问题就是：
1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ (n-1) ＋ n
若用首尾配对相加法，需要分类讨论.
三角形
平行四边形
n ＋ (n-1) ＋ (n-2) ＋…＋ 2 ＋1
倒序相加法
那么，对一般的等差数列，如何求它的
前n项和呢？
前n项和
分析：这其实是求一个具体的等差数列前n项和.
①
②
问题分析
已知等差数列｛ an ｝的首项为a1，项数是n，第n项为an，求前n项和Sn .
如何才能将等式的右边化简？
①
②
求和公式
等差数列的前n项和的公式：
思考：（1）公式的文字语言；
（2）公式的特点；
不含d
可知三求一
等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半。
想一想
在等差数列 {an} 中，如果已知五个元素 a1, an, n, d, Sn 中的任意三个, 请问: 能否求出其余两个量 ?
结论：知 三 求 二
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
a1
an
公式的记忆
我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前 n 项和公式.
a1
(n-1)d
a1
an
将图形分割成一个平行四边形和一个三角形.
公式应用
根据下列各题中的条件，求相应的等差数列｛an｝的Sn ：
（1）a1=5，an=95，n=10
（2）a1=100，d=－2，n=50
练一练
500
2550
例1、计算
（1） 5+6+7+…+79+80
（2） 1+3+5+…+（2n-1）
（3）1-2+3-4+5-6+…+（2n-1）-2n
-n
例题讲解
n2
3230
提示：n=76
法二：
例2 在等差数列{an}中， 已知
，求S7.
例题讲解
例题讲解
例3、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》，某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网。据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元。那么，从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？
分析：①找关键句；
②求什么，如何求；
解：由题意，该市在“校校通”工程中每年投入的资金构成等差数列{an}，且a1=500,d=50,n=10.
故，该市在未来10年内的总投入为：
答
变式练习
一个屋顶的某一斜面成等腰梯形，最上面一层铺瓦片21块，往下每一层多铺1块，斜面上铺了19层，共铺瓦片多少块？
解：由题意，该屋顶斜面每层所铺的瓦片数构成等差数列{an}，且a1=21，d=1，n=19.
于是，屋顶斜面共铺瓦片：
答：屋顶斜面共铺瓦片570块.
例4．求集合 的元素个数，
并求这些元素的和.
解：
由 得
∴正整数 共有14个即 中共有14个元素
即：7，14，21，…，98 是以 为首项，
以 为末项的等差数列.
∴
例题讲解
课堂练习
答案: 27
练习1、
练习2、等差数列－10，－6，－2，2，
…的前______项的和为54？
答案: n=9，或n=-3（舍去）
练习3 已知一个共有n项的等差数列前4项之和为26,末四项之和为110,且所有项的和为187，求n.
课堂练习
n=11
提示：a1+a2+a3+a4=26
an+an-1+an-2+an-3=110
a1+an=34
课堂练习
-110
知识打包 存放备用
an=a1+(n-1)d
对于Sn、an 、a1、n、d 五个量，“知三求二”.
方程(组)思想
(待定系数法)
倒序求和法
掌握与应用
课堂小结
1．等差数列前n项和的公式；

2．等差数列前n项和公式的推导方法——倒序相加法；

3.在两个求和公式中,各有五个元素,只要知道其中三个元素,结合通项公式就可求出另两个元素.
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（两个）
课堂练习