等差数列的前n项和
1.等差数列的定义：
2.通项公式：
3.重要性质:
高斯出生于一个工匠家庭，幼时家境贫困，但聪敏异常。上小学四年级时，一次老师布置了一道数学习题：“把从1到100的自然数加起来，和是多少？”年仅10岁的小高斯略一思索就得到答案5050，这使老师非常吃惊。那么高斯是采用了什么方法来巧妙地计算出来的呢？
高斯（1777---1855）， 德国数学家、物理学家和天文学家。他和牛顿、阿基米德，被誉为有史以来的三大数学家。有“数学王子”之称。
高斯“神速求和”的故事:
首项与末项的和： 1＋100＝101，
第2项与倒数第2项的和： 2＋99 =101，
第3项与倒数第3项的和： 3＋98 ＝101，
· · · · · ·
第50项与倒数第50项的和：50＋51＝101，
于是所求的和是：
求 S=1+2+3+······+100=？
你知道高斯是怎么计算的吗？
高斯算法：
高斯算法用到了等差数列的什么性质？
如图，是一堆钢管，自上而下每层钢管数为4、5、6、7、8、9、10，求钢管总数。
即求：S=4+5+6+7+8+9+10.
高斯算法：
S=（4+10) +（5+9）+（6+8）+7 = 14×3+7=49.
还有其它算法吗？
S=10+9+8+7+6+5+4.
S=4+5+6+7+8+9+10.
相加得：
倒序相加法
怎样求一般等差数列的前n项和呢？
等差数列的前n项和公式
公式1
公式2
结论：知 三 求 二
思考：
(1)两个求和公式有何异同点？
公式记忆
—— 类比梯形面积公式记忆
等差数列前n项和公式的函数特征：
特征：
思考：
结论：
例1、计算：
例2、
注：本题体现了方程的思想.
解：
例3、
解：
又解：
整体运算的思想!
例4、
解：
1、一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。
解：
解:
1、用倒序相加法推导等差数列前n项和公式;
3、应用公式求和.“知三求二”，方程的思想.
①已知首项、末项用公式Ⅰ；已知首项、公差用公式Ⅱ.
②应用求和公式时一定弄清项数n.
③当已知条件不足以求出a1和d时，要认真观察，灵活应用等差数列的性质，看能否用整体思想求a1+an的值.
2.2.3 等差数列的前n项和
——性质及其应用（上）
1.若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有______项。
2.已知两个等差数列{an},{bn}，它们的前n项和分别是Sn,Tn，若
热身练习
比值问题
整体思想
方法一：方程思想
方法二：
成等差数列
等差数列前n项和性质：
(等差数列等分若干段后,各段和依序成等差数列)
等差数列前项和的最值问题：
解：
方法一
练习
解：
方法二
练习1、已知一个等差数列中满足
等差数列前n项和
—————性质以及应用（下）
等差数列奇，偶项和问题
1、已知一个等差数列前12项的和是354，前
12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．
分析：方法一：直接套用公式；
方法二：利用奇数项与偶数项的关系．
解：方法一：
1、已知一个等差数列前12项的和是354，前 12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差．
解：方法二：
分析：还是利用奇数项和偶数项之间
的关系，相差一个公差d.
求数列前n项和方法之一：裂项相消法
设{an}是公差为d的等差数列，则有
特别地，以下等式都是①式的具体应用：
①
(裂项相消法)
；
；
求数列前n项和方法之二：公式
1.定义：an-an-1=d（d为常数）（n≥2）
3.等差数列的通项变形公式：
an=am+（n-m）·d
2.等差数列的通项公式：
an=a1+(n-1)d
4.数列{an}为等差数列，则通项公式an=pn+q (p、q是常数),反之亦然。
8.推论: 在等差数列中，与首末两项距离相
等的两项和等于首末两项的和，即

联系: an = a1+(n-1)d的图象是相 应直线 上
一群孤立的点.它的最值又是怎样?
1.已知a、b、c的倒数成等差数列，如果a、b、c互不相等，则 为
2.已知等差数列{an}的公差d＝1， 那么 的值等于
3.己知数列 ｛an｝的前n项和Sn=-n2-2n+1,试判断数列｛an｝是不是等差数列?
4.在等差数列｛an｝中,a3=-13,a9=11,
(1)求其前n项和Sn的最小值;
(2)求数列｛|an | ｝的前n和Tn.
5. 已知直角三角形三边长成等差数列，试求其三边之比.