2.3等差数列的前n项和的求解方法
问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解法1:
∵1+100=101， 2+99=101，
3+98=101 ， 4+97=101，
··· ， ··· ，
49+52=101，50+51=101.
∴1+2+3+4+5+···+100
=50×101
=5050.
高斯
德国著名数学家高斯（Carl Friedrich Causs 1777年~1855年），10岁时曾很快求出它的结果！
解法2
∵1+99=100 ， 2+98=100 ， 3+97=100 ，
… ， … ， … ，
47+53=100 ， 48+52=100 ，49+51=100 ，
∴ 1+2+3+4+5+···+100
=49×100+150
=5050
解法1与解法3的比较
解法1：
∵1+100=101，
2+ 99=101，
··· ，
49+52=101， 50+51=101.
∴1+2+3+4+5+···+100
=50×101
=5050.
解法3：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 ,
∴2S=(1+100)+(2+99)+
···+(99+2)+(100+1)
=100×101
s=100×(1+100)/2
∴S=5050 .
解法1与解法3的比较
解法1：
∵1+100=101，
2+ 99=101，
··· ，
49+52=101， 50+51=101.
∴1+2+3+4+5+···+100
=50×101
=5050.
算术法
解法3：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 ,
∴2S=(1+100)+(2+99)+
···+(99+2)+(100+1)
=100×101
s=100×(1+100)/2
∴S=5050 .
解法1与解法3的比较
解法1：
∵1+100=101，
2+ 99=101，
··· ，
49+52=101， 50+51=101.
∴1+2+3+4+5+···+100
=50×101
=5050.
算术法
解法3：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 ,
∴2S=(1+100)+(2+99)+
···+(99+2)+(100+1)
=100×101
s=100×(1+100)/2
∴S=5050 .
解法1与解法3的比较
解法1：
∵1+100=101，
2+ 99=101，
··· ，
49+52=101， 50+51=101.
∴1+2+3+4+5+···+100
=50×101
=5050.
算术法
解法3：
设：∵S= 1+2+···+99+100 ,
S=100+99+···+2+1 ,
∴2S=(1+100)+(2+99)+
···+(99+2)+(100+1)
=100×101
s=100×(1+100)/2
∴S=5050 .
代数法（倒序求和）
解法3
设：∵S= 1+2+3+4+···+97+98+99+100 ,
S=100+99+98+97+···+4+3+2+1 ,
∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+
···(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1)
=100×101
s=100×(1+100)/2
∴S=5050
注：此法称倒序求和（属代数法）
解法3
设：∵S= 1+2+3+4+···+97+98+99+100 ,
S=100+99+98+97+···+4+3+2+1 ,
∴2S=(1+100)+(2+99)+(3+98)+(4+97)+
···(97+4)+(98+3)+(99+2)+(100+1)
=100×101
s=100×(1+100)/2
∴S=5050
注：此法称倒序求和（属代数法）
猜想1
设求等差数列{an }的前n项和为Sn，即
Sn=a1+a2+a3+…+an,则

sn=n(a1+an)/2
探索1
设:∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an ,,
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+…
+(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 )

？
2Sn=n(a1+an)
sn=n(a1+an)/2
解决疑难问题
定理 ：数列{an}是等差数列，m,n,p,q分别为自然数
若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
证明：设等差数列首项为a1，公差为d,则
am+an=a1+(m-1)d+a1+(n-1 )d
=2a1+(m+n-2)d
ap+aq=a1+(p-1)d+a1+(q-1)d
= 2a1+(p+q-2)d
∵ m+n=p+q, ∴ m+n-2=p+q-2
∴ am+an=ap+aq
证明猜想1
证明：∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an ,
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+…
+(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 )
∵1+n=2+n-1=3+n-2=…
=n-2+3=n-1+2=n+1
由定理 得
(a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=…
=(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 )
∴ 2Sn=n(a1+an)
∴ sn=n(a1+an)/2

∴ sn=n(a1+an)/2
由定理 得
(a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=…
=(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 )
∴ 2Sn=n(a1+an)
∴ sn=n(a1+an)/2

∴ sn=n(a1+an)/2
由定理 得
(a1+ an)=(a2+an-1)=(a3+an-2 )=…
=(an-2 +a3 )=(an-1+a2 )=(an+a1 )
∴ 2Sn=n(a1+a2)
∴ sn=n(a1+an)/2

∴ sn=n(a1+an)/2
解法4：
1+2+3+4+…+100
=3+3+4+…+100
=6+4+…+100
=…
=5050
解法5：
把问题1看成a1=1,d=1,n=100的等差数列，则根据等差数列的中项公式，得
1+99=2×50，2+98=2×50，3+97=2×50,
… ， … ， … ,
47+53=2×50,48+52=2×50,49+51=2×50,
1+2+3+4+5+···+100
=49×2×50+50+100
=5050
对问题1转换点看
用数列观点：求等差数列
1，2，3，4，5，6，…，n,…
的前100项的和.
从而研究等差数列：
a1 ,a2 ,a3 ,…an ,…
设求等差数列{an }的前n项和为Sn，即
Sn=a1+a2+a3+…+an
用倒序求和法1
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an
Sn=an+an-1+an-2+…+a3+a2+a1
∴2Sn =(a1+ an)+(a2+an-1)+(a3+an-2 )+…
+(an-2 +a3 )+(an-1+a2 )+(an+a1 )
∴2Sn=[a1+a1+(n-1)d]+[a1+d+a1+(n-2)d]+
…+[a1+(n-2)d+ a1+d]+[ a1+(n-1)d+ a1]
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…
+[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d]
∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2
∴Sn=na1+n(n-1)d/2
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…
+[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d]
∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2
∴Sn=na1+n(n-1)d/2
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…
+[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d]
∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2
∴Sn=na1+n(n-1)d/2
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…
+[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d]
∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2
∴Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2
∵an=a1+ +(n-1)d
∵ Sn=n[a1+ an ]/2
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…
+[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d]
∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2
∴Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2
∵an=a1+ +(n-1)d
∵ Sn=n[a1+ an ]/2
∴2Sn=[2a1+(n-1)d]+[2a1+(n-1)d]+…
+[2a1+(n-1)d]+[ 2a1+(n-1)d]
∴ 2Sn=n[2a1+(n-1)d]
∴Sn=n[2a1+(n-1)d]/2
∴Sn=n[a1+a1+(n-1)d]/2
∵an=a1+ +(n-1)d
∵ Sn=n[a1+ an ]/2
用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则
Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , (1)
Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , (2)
由（1）+（2）得


∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)
用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则
Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , (1)
Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , (2)
由（1）+（2）得
n个

∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)
用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则
Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , (1)
Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , (2)
由（1）+（2）得
n个

∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)
=n (a1+ an)
用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则
Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , (1)
Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , (2)
由（1）+（2）得
n个

∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)
=n (a1+ an)
Sn=n[a1+ an ]/2
用倒序求和法2
∵Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,则
Sn=a1+(a1+d)+…+[a1+(n-1)d] , (1)
Sn=an+(an-d)+…+[an-(n-1)d] , (2)
由（1）+（2）得
n个

∴2Sn = (a1+ an) +(a1+an)+…+(a1+ an)
=n (a1+ an)
Sn=n[a1+ an ]/2
等差数列的前n项和公式
Sn=n[a1+ an ]/2 (1)

Sn=na1+n(n-1)d/2 (2)
问题1
1+2+3+4+5+···+100=？
解：由题意可知，它是等差数列前n项和求和问题，则
∵a1=1,an=100,n=100
∴Sn=100(1+100)/2
=5050 .
例1
如图3-4，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支.这个V形架上共放着多少支铅笔？
解：
由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，即为{an }，其中a1 =1, a120 =120.根据等差数列前n项和的公式，
得 ,S120=120×(1+120)/2=7260.

答：V形架上共放着7260支铅笔.
例2
等差数列 -10，-6，-2，2，… 前多少项的和是54？
解: 设题中的等差数列为{an }，前n项和是Sn，则a1 =-10，d=-6-(-10)=4，设Sn=54
根据等差数列前n项和的公式，得
-10n+n(n-1)×4/2=54, 整理 得 ，n2-6n-27=0.
解得 n1= 9 n2= -3(舍去）.
因此等差数列 -10，-6，-2，2，… 前9项的和是54.
小结
一、等差数列的前n项和公式
Sn=na1+n(n-1)d/2
Sn=n[a1+ an ]/2
二、运用和应用
（1）函数思想 （2）方程思想
（3）数学应用思想（4）倒序求和法
三、数学发现的方法
学会猜想，学会证明 .