第五节　证明不等式的基本方法
2ab
变形
判断差的符号
3．综合法与分析法
(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的______________而得出命题______．
(2)分析法：从_____________出发，逐步寻求使它成立的___________，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立．
推理、论证
成立
要证的结论
充分条件
2．综合法和分析法有什么区别与联系？
【提示】　分析法是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，推理实际上是“执果索因”，寻求它的充分条件．综合法是从“已知”看“可知”，逐步推导“未知”，实质上是“由因导果”．事实上分析法和综合法二者不可分割，常由分析法寻求思路，利用综合法给出证明．
1．(教材改编题)已知a＋b＋c＞0，ab＋bc＋ac＞0，abc＞0，用反证法求证a＞0，b＞0，c＞0时的反设为(　　)
A．a＜0，b＜0，c＜0　　　B．a≤0，b＞0，c＞0
C．a、b、c不全是正数 D．abc＜0
【解析】　a＞0，b＞0，c＞0的否定是：a，b，c不全是正数．
【答案】　C
【答案】　D
【答案】　D
【答案】　4
【思路点拨】　观察待证不等式两边的特征：①左边是无理式，右边是有理式．②两边均非负．可考虑用分析法，通过平方寻找它成立的充分条件．
1.(1)分析法是寻找结论成立的充分条件，对于无理不等式去根号，分式不等式去分母，采用分析法是常用方法．(2)此题证明的关键是在两边非负的条件下平方去根号．
2.分析法证明的思路是“执果索因”，其框图表示为：
【思路点拨】　当直接证明命题较困难时，可根据“正难则反”，利用反证法加以证明．
1．反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面推理，就不是反证法．
2．凡涉及否定性、惟一性命题或含“至多”“至少”等语句的不等式时，常可考虑反证法．
一种原则
“正难则反”原则．
当直接证明有困难时，常采用反证法．
一个程序
反证法证明步骤是：
(1)作出否定结论的假设；
(2)利用假设进行推理，导出矛盾；
(3)否定假设，肯定结论．
两种方法
1.分析法：
B⇐B1⇐B2⇐…⇐Bn⇐A(结论)．
(步步寻求不等式成立的充分条件)(已知)．
2．综合法：
A⇒B1⇒B2⇒…⇒Bn⇒B(已知)．
(逐步推演不等式成立的必要条件)(结论)．
从近两年高考命题看，做为新课标选考的重要内容，不等式证明严格按考试说明要求命题，试题难度不超过中等．着重考查比较法、综合法与分析法证明不等式，在证明中要注意放缩法的应用．
创新点拨：(1)本题是在题设情境上进行创新，定义新概念“x比y远离m”；
(2)注重新知识的接受、迁移能力，是对再学习能力的很好考查，并考查绝对值不等式的解法及不等式的证明．
应对措施：(1)认真审题，吃透概念，抓住“x比y远离m”，建立不等式；
(2)“万变不离其宗”，增强自信，平时强化迁移能力的培养，善于把“新概念”，“新运算”转化为我们熟悉的“旧概念”、“旧运算”，并严格按照规定进行操作．
【答案】　①③⑤