第四节　曲线和方程
1.曲线与方程的概念
在直角坐标系中，如果某曲线C(看做适合条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1) ；
(2) ．
那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．
曲线上的点的坐标都是这个方程的解
以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点
2．求曲线(图形)的方程，常按以下步骤进行：
(1)
；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，步骤(5)可以不写，如有特殊情况，可适当予以说明，步骤(2)可省略．
建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意一点
M的坐标
写出适合条件P的点M的集合P＝{M|P(M)}
用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)＝0
化方程f(x，y)＝0为最简形式
证明化简后的方程是所求曲线的方程
3．求曲线的轨迹方程常用方法有： ； ；
； ； ．
直接法
定义法
参数法
转移法
待定系数法
1．求曲线的方程注意以下三个问题：
(1)要适当建立坐标系，坐标系建立得适当，可使运算过程简单，所得的方程也比较简单，否则会大大增加运算的繁难程度．在实际解题过程中，应充分利用图形的几何特性．如中心对称图形、可利用它的对称中心作为坐标原点，轴对称图形，可以利用它的对称轴为坐标轴；条件中有直角，可考虑将两直角边所在直线作为坐标轴等等．
(2)根据曲线上的点所满足的条件列出方程是最重要的一环．应认真分析题设条件，综合利用平面几何的知识，列出几何等式，再利用解析几何的一些概念、公式、定理等将几何等式坐标化，便是曲线的方程，还要将所得方程化简，使求得的方程是最简单的形式．
2．在求曲线方程时经常出现的问题产生多解或漏解的错误，为此解题时应注意以下三点：①注意动点应满足的某些隐含条件；②注意方程变形是否同解；③注意图形可能的不同位置或字母系数取不同值时的讨论．
例1　如果命题“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确．那么，以下正确的命题是
(　　)
A．曲线C上的点的坐标都满足方程F(x，y)＝0
B．坐标满足方程F(x，y)＝0的点有些在C上，有些不在C上
C．坐标满足方程F(x，y)＝0的点都不在曲线C上
D．一定有不在曲线C上的点，并且其坐标满足方程F(x，y)＝0
[分析]　从定义入手，考查定义中的两个条件(纯粹性与完备性)．
[解析]　解法一：若方程为y＝|x|，曲线C为一、三象限的角平分线，显然曲线C上的点的坐标不都满足方程，故A错误，同理可推出，坐标满足方程的点都不在曲线C上是错误的，故C不正确．
若方程为y＝x＋1，曲线C为一、三象限的角平分线，显然满足方程的点都不在曲线C上，故B是错误的．因此只有D正确．
解法二：“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”不正确，就是说“坐标满足方程F(x，y)＝0的点不都在曲线C上”是正确的．这意味着一定有这样的点(x0，y0)，虽然F(x0，y0)＝0，但(x0，y0)∉C，即一定有不在曲线上的点，其坐标满足F(x，y)＝0.
[答案]　D
[规律总结]　本例考查对曲线的方程与方程的曲线的概念的理解能力，关键是由定义及命题的关系加以识别．
判断曲线与方程的对应关系有两种解法：等价转化和特值讨论，它们依据的是曲线的纯粹性和完备性．因此，处理“曲线与方程”的概念题，可采用直接法(如解法二)，也可采用特值法(如解法一).
备考例题1 若命题“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”是正确的，则下列命题为真命题的是
(　　)
A．不是曲线C上的点的坐标，一定不满足方程f(x，y)＝0
B．坐标满足方程f(x，y)＝0的点均在曲线C上
C．曲线C是方程f(x，y)＝0的曲线
D．不是方程f(x，y)＝0的解，一定不是曲线C上的点
解析：∵题设命题只说明“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)＝0的解”，并未指出“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都是曲线C上的点”，
∴A、B、C都是假命题，如曲线C：平面直角坐标系一、三象限的角平分线，与方程f(x，y)＝x2－y2＝0，即满足题设条件，但却不满足选项A、B、C的结论，根据逆否命题是原命题的等价命题知，D是正确的．
答案：D
例2　设0＜θ＜ ，曲线x2sinθ＋y2cosθ＝1和x2cosθ－y2sinθ＝1有4个不同的交点．
(1)求θ的取值范围；
(2)证明这4个交点共圆，并求圆的半径的取值范围．
[分析]　(1)联立方程组解出x2、y2的表达式，建立关于sinθ，cosθ的不等式求θ的范围．(2)利用圆的定义证明四个交点到定点的距离相等．
[规律总结]　曲线交点问题一般通过构建方程组，即联立曲线方程组成的方程组，利用消元得到关于x或y的形式上的一元二次方程，再根据判别式判断方程解的情况，即曲线的交点个数问题.
备考例题2 过点M(1,2)的直线与曲线y＝ 有两个不同的交点，且这两个交点的纵坐标之和为a，求a的取值范围．
消去x得：y2－(2－k)y－ka＝0①
当且仅当方程①有两个不同实数根时，方程组(*)有两个不同的实数解，直线与曲线有两个不同的交点．
∴Δ＝(2－k)2＋4ka＞0，
设该方程两根为y1，y2，由根与系数的关系知
y1＋y2＝2－k，又∵y1＋y2＝a，
∴k＝2－a，代入Δ＞0中得a2＋4a(2－a)＞0，
解得0＜a＜ ，
又∵k≠0，∴2－a≠0，∴a≠2，
∴a的取值范围是(0,2)∪(2，).
例3　等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么？
[分析]　设出C点坐标(x，y)，根据|AC|＝|AB|得出关于x、y的关系式，即C的轨迹方程．
[规律总结]　求曲线的轨迹方程，事实上就是探求动点横、纵坐标之间满足的关系式，常用的方法有直接法、定义法、相关点法、参数法、几何法、交轨法等，求出方程后要注意检验轨迹的“纯粹性”和“完备性”.
备考例题3　　已知A、B为两定点，动点M到A与B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．
例　已知O(0,0)，B(1,0)，C(b，c)是△OBC的三个顶点．G是△OBC的重心，H是△OBC的垂心，当直线GH与OB平行时，求顶点C的轨迹．
[错因分析]　(1)在求出轨迹方程之后，要注意检查轨迹的“纯粹性”和“完备性”，确保轨迹上的点“不多不少”．本例中应注意三角形的三个顶点不共线．
(2)注意求动点的轨迹与轨迹方程的不同，后者只指方程，而前者包含方程及曲线的形状．