1．对于函数f(x)，如果对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝_____，那么f(x)就叫做奇函数；如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝ ____，那么f(x)就叫做偶函数．函数f(x)可以是奇函数也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，还可以两者都不是，但是必须注意的是，研究函数的奇偶性必须首先明确函数的定义域是否关于原点对称．
－f(x)
f(x)
2．奇函数的图象是关于____成_____对称图形；偶函数的图象是关于____成___对称图形．反之也成立．在定义域的公共部分内，两个奇函数之积(商)为___函数；两个偶函数之积(商)是___函数；一奇一偶两函数之积(商)为___函数(注：取商时应使分母不为0)．奇(偶)函数有关定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)±f(x)＝0⇔
原点
中心
y轴
轴
偶
奇
偶
1．下列函数中是奇函数的是 (　　)
A．y＝2x－3　　　　　　　 B．y＝－3x2
C．y＝ln 5x D．y＝－|x|cos x
解析：对于C，y＝ln 5x＝xln 5，故此函数为奇函数．
答案：C
2．若函数f(x)是偶函数，当－1≤x＜0时，f(x)＝x＋1，则0＜x≤1时，f(x)的解析式为 (　　)
A．f(x)＝x－1 B．f(x)＝1－x
C．f(x)＝－x－1 D．f(x)＝x＋1
解析：当0＜x≤1时，－1≤－x＜0，
又f(x)为偶函数，所以f(x)＝f(－x)＝－x＋1，故选B.
答案：B
3．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是 (　　)
答案　B
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝________.
解析：f(－2)＝－f(2)＝－(22－3)＝－1.
答案：－1
1．奇函数、偶函数的代数特征我们可以灵活变通，即f(x)＋f(－x)＝0是f(x)为奇函数的充要条件，f(－x)－f(x)＝0是f(x)为偶函数的充要条件．若奇函数的定义域含有数0，则必有f(0)＝0.
2．定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件．
3．我们可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性．
4．如果f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
5．判断函数的奇偶性，包括判断一个函数是奇函数，或者是偶函数，或者既不是奇函数又不是偶函数，或者既是奇函数又是偶函数．在解题过程中要注意挖掘函数的周期性和奇偶性特征，为解决问题提供方便．
6．奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据．为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式．
考点一　判断函数的奇偶性
【案例1】　判断下列函数的奇偶性：
关键提示：判断函数的奇偶性，需先求出定义域，在此前提下，根据奇函数(或偶函数)的定义进行分析．
解：(1)定义域是[－1,0)∪(0,1]，
所以f(－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数．
(2)(方法1)定义域为(－∞，＋∞)，
＝ln(1＋e2x)－ln e2x＋x
＝ln(1＋e2x)－x＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
(方法2)f(－x)＋f(x)＝ln[(1＋e2x)(1＋e－2x)]

＝ln(1＋e2x)2－2x
＝2ln(1＋e2x)－2x
＝2f(x)，
所以f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数．
【即时巩固1】　判断下列函数的奇偶性．

(2)f(x)＝lg|x－2|.
解：(1)因为x2－1≥0且1－x2≥0，
所以x＝±1，即f(x)的定义域是{－1,1}．
因为f(1)＝0，f(－1)＝0，
所以f(1)＝f(－1)，f(－1)＝－f(1)，
故f(x)既是奇函数又是偶函数．
关键提示：从f(0)＝0入手．
考点二　函数奇偶性的应用
A．－2　　　　　　　　B．2
C．2或－2　　 D. 无法确定
答案　C
考点三　函数奇偶性、单调性的综合应用

(1)求a和b的值．
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．
关键提示：(1)由f(0)＝0可求出b.用特殊值法对f(－x)＝－f(x)进行赋值求a.(2)利用单调性和奇偶性脱去“f”的符号．
【即时巩固3】　设定义在[－2,2]上的偶函数f(x)在[0,2]上单调递减．若f(2m－1)＜f(m)且m<0，求实数m的取值范围．
解：因为f(x)在[－2,2]上为偶函数，且在[0,2]上单调递减，
所以f(x)在[－2,0]上单调递增．