第二节　算术平均数和几何平均数
a＝b
≥
≤
≤
≤
≥
小
大
例1　已知a＞0，b＞0，c＞0，且a＋b＋c＝1.
求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c)．
[分析]　本题可采用分析法，充分利用已知条件及均值不等式的证明．
[解]　∵a＞0，b＞0，c＞0且a＋b＋c＝1，
∴要证原不等式成立，
即证[(a＋b＋c)＋a]·[(a＋b＋c)＋b]·[(a＋b＋c)＋c]
≥8[(a＋b＋c)－a]·[(a＋b＋c)－b]·[(a＋b＋c)－c]．
[规律总结]　用基本不等式求函数的最值时，关键在于将函数变形为两项的和或积，使这两项的和或积或平方和为定值，然后用基本不等式求出最值；在求条件最值时，一种方法是消元，转化为函数的最值，另一种方法是将要求最值的表达式变形，然后用基本不等式使要求最值的表达式放缩为一个定值．不管哪种题，哪种方法，在用基本不等式求最值时都必须要验证等号成立的条件.
[分析]　认真审题，理解维修费的计算方法，表示出维修费，然后写出平均损耗的表达式，化简之后利用基本不等式求出平均损耗的最小值，从而得到机器的使用天数．
备选例题 3　(2008·湖北高考)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18 000 cm2，四周空白的宽度为10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5 cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？
[错因分析]　由于技能不熟，解决不当，容易多次变形，等号不能同时成立．
[错因分析]　数形结合的思想方法不能灵活运用，几何问题转化不成代数问题，是该题做错的主要原因.