第五节　数列的综合应用
1．解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的结构和特征．
(3)求解——求出该问题的数学解．
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．
具体解题步骤用框图表示如下：
2．数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．
银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？
【提示】　单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．
复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．
1．(人教A版教材习题改编)等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且4a1，2a2，a3成等差数列，则S4＝(　　)
A．7　　　　B．8　　　　C．15　　　　D．16

【答案】　C
2．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要(　　)
A．6秒钟 B．7秒钟 C．8秒钟 D．9秒钟
【答案】　B
4．(2013·广州调研)已知{an}是等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10＝________．

【答案】　110
1．(1)本题的切入点是求a1，从而得an与Sn的关系，转化成等比数列求通项公式；(2)递减的等差数列的前n项和有最大值，运用函数思想求解．
2．等差数列与等比数列的联系：
(1)若数列{an}是等差数列，则数列{aan}是等比数列，公比为ad，其中a是常数，d是{an}的公差．(a＞0且a≠1)．
(2)若数列{an}是等比数列，且an＞0，则数列{logaan}是等差数列，公差为logaq，其中a是常数且a＞0，a≠1，q是{an}的公比．
【思路点拨】　(1)an与bn分别是两个等比数列的前n项和．
(2)解不等式bn＞an，求n的最小值．
1．解答本题时，理解题意是关键，其中an，bn是等比数列的前n项和，而非第n项．
2．数列应用问题的核心是建立数学模型，往往从给出的初始条件入手，推出若干项，逐步探索数列通项或前n项和或前后两项的递推关系，从而建立等比数列模型．
3．与等比数列联系密切的是“增长率”、“递减率”的概念，在经济上多涉及利润、成本、效益的增减问题；在人口数量的研究中也要研究增长率问题；金融问题更多涉及复利的问题，这都与等比数列有关．
(2012·湖南高考)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产．该企业第一年年初有资金2 000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50%.预计以后每年奖金年增长率与第一年的相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元．
(1)用d表示a1，a2，并写出an＋1与an的关系式；
(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元，试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示)．

数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角函数、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度，解决此类题目要重视知识的交汇．

1.数列是一种特殊的函数，故应用函数的观点与思想认识数列．
2．等差(或等比)数列是最基本、最重要的数列，有的数列常转化为等差或等比数列，然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题．
1.数列与函数方程相结合时主要考查函数的思想及函数的性质(多为单调性)．
2．转化化归思想，an与Sn转化，一般数列与特殊数列的转化等．
数列的综合应用是高考的重点内容，重点考查学生分析问题和解决问题的能力．从高考命题来看，本考点突出知识的交汇，题型多样，小题“以小见大”，解答题往往需运用数列与其他知识(方程、不等式、函数)综合解决，创新能力要求高，突出数学思想方法的考查．
思想方法之十一　化归与转化思想在数列中的应用
(2012·天津高考)已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，{bn}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝27，S4－b4＝10.
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)记Tn＝anb1＋an－1b2＋…＋a1bn，n∈N*，证明Tn＋12＝－2an＋10bn(n∈N*)．
＝ak＋1b1＋qTk＝ak＋1b1＋q(－2ak＋10bk－12)
＝2ak＋1－4(ak＋1－3)＋10bk＋1－24
＝－2ak＋1＋10bk＋1－12，
∴Tk＋1＋12＝－2ak＋1＋10bk＋1，故n＝k＋1时等式成立．
由(1)和(2)，对任意n∈N*，Tn＋12＝－2an＋10bn成立．
易错提示：(1)错位相减求和，弄错数列的项数．
(2)转换运算能力差，求错{an}，{bn}的通项公式，难以将{anbn}的前n项和转化为特殊数列求和．
防范措施：(1)抓住数列的特征，正确计算，掌握一些特殊数列求和的方法．
(2)在写出“Tn”与“qTn”的表达式时，注意将两式“错项对齐”，转化为等比数列求和．
1．(2012·四川高考改编)设函数f(x)＝(x－3)3＋x－3，{an}是公差不为0的等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝0，则a1＋a2＋…＋a7＝(　　)
A．0　　　　B．7　　　　C．14　　　　 D.21
【解析】　∵y＝x3＋x是单调递增的奇函数，
∴f(x)＝(x－3)3＋(x－3)关于点(3，0)对称，且是增函数，
又∵{an}是等差数列，f(a1)＋f(a2)＋…＋f(a7)＝0，
∴f(a4)＝0，即(a4－3)3＋(a4－3)＝0，
于是a4＝3，于是a1＋a2＋…＋a7＝7a4＝21.
【答案】　D