第五节　圆及直线与圆的位置关系
1.圆的定义及方程
定点
定长
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
2.直线与圆的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.
＜
＝
＞
＞
＝
＜
d＞r1＋r2
d＝r1＋r2
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
d＝|r1－r2|
0≤d＜|r1－r2|
无解
一组实数解
两组不同的实数解
一组实数解
无解
在求解直线和圆的问题时，要注意运用：
(1)数形结合的数学思想，尽可能运用圆的几何 性质，使解法简捷．如有关直线与圆的位置关 系问题，一般不用判别式，而是用圆心到直线的距离与半径的大小关系求解；直线与圆的交点问题则常用根与系数的关系简化运算过程．
(2)在求与弦长、弦中点相关问题时要注意运用代数定理，引进参数，设点而不求点，简化运算，减少计算量．
(3)要注意分类讨论，等价转化思想的应用，在确定直线方程时，对其斜率存在性的讨论，往往容易忽视．
例1　根据下列条件，求圆的方程：
(1)和圆O：x2＋y2＝4相外切于点P(－1， )，且半径为4；
(2)圆心在原点，且圆周被直线3x＋4y＋15＝0分成1∶2两部分的圆的方程；
(3)求经过两已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0和C2：x2＋y2－2y－4＝0的交点，且圆心在直线l：2x＋4y＝1上的圆的方程．
[规律总结]　无论是圆的标准方程或是圆的一般方程，都有三个待定系数，因此求圆的方程，应用三个条件来求，一般地，已知圆心或半径的条件，选用圆的标准式，否则选用一般式．
另外，还有几何法可以用来求圆的方程．要充分利用圆的有关几何性质，如“圆心在圆的任一条弦的垂直平分线上”“半径，弦心距，弦长的一半构成直角三角形”等.
备考例题1 求与x轴相切，圆心在直线3x－y＝0上，且被直线x－y＝0截得的弦长为2 的圆的方程．
例2　已知直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25.
(1)证明：m为任意实数时l与圆C必相交；
(2)求直线l被圆C截得的弦长的最小值及此时m的值．
[分析]　(1)由题意知直线l恒过定点P(3,1)，m变化时，直线l绕着点P(3,1)旋转，要证l与C相交，只需证点(3,1)在圆C内部．
(2)当直线l与PC垂直时弦长最短，由斜率关系得出m的值．
[规律总结]　(1)若对于任意的实数m，直线l与圆相交于两点，那么直线l必过圆内一定点．
(2)过圆内一点最短的弦应是与过这点和圆心的连线垂直的弦．
(3)求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑弦心距、半弦长及半径构成的直角三角形，利用勾股定理求得弦长.
备考例题2 已知直线l：2x－y＋m＝0与圆C：x2＋y2＝5.
(1)m为何值时，直线l与圆C无公共点？
(2)m为何值时，直线l被圆C截得的弦长为2?
(3)m为何值时，直线l与圆C交点处与圆心的连线互相垂直？
例3　已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求：
(1)m取何值时两圆外切；
(2)m取何值时两圆内切，此时公切线方程是什么？
(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．
[分析]　把两圆的一般方程化为标准方程，求两圆的圆心距d，判断d与R＋r，R－r的关系，利用圆的几何性质分别解决第(2)、(3)问．
[规律总结]　(1)两圆的公切线条数为：①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，有四条公切线．
(2)判断两圆的位置关系可根据圆心距与圆的半径的关系式去求解．求两圆的公切线时，要注意两圆的位置关系，可结合图形判断求解.
备考例题3　　求与圆C1：(x＋3)2＋y2＝4及圆C2：(x－3)2＋y2＝100相切的动圆圆心的轨迹方程．
解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为r.
由已知得圆C1的圆心C1(－3,0)，半径r1＝2；
圆C2的圆心C2(3,0)，半径r2＝10.
而|C1C2|＝6∈(0，r2－r1)，
∴圆C1内含于圆C2，
∴动圆M与两圆相切有两种情况．
例4　如果实数x、y满足x2＋y2－4x＋1＝0，求：
(1) 的最大值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最值．
[分析]　问题(1)实质是求圆上的点与原点连线的斜率的最大值；
问题(2)实质上是求斜率为1的直线与已知圆有公共点时直线的纵截距的最小值；
问题(3)实质是求圆上一点到原点距离的平方的最大值和最小值．
[解]　(1)设 ＝k，得y＝kx，所以k为过原点的直线的斜率，又x2＋y2－4x＋1＝0表示(2,0)为圆心，半径为 的圆，如图所示．
备考例题4 已知⊙C：(x－3)2＋(y＋4)2＝1，点A(－1,0)，点B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．
二、性质应用错误
例2　如右图，半径为1的圆C过原点O，Q为圆C与x轴的另一个交点，四边形OQRP为平行四边形，其中RP为圆C的切线，P为切点，且P点在x轴上方，当圆C绕原点O旋转时，
求R点的轨迹方程．
[错因分析]　本题的误区在于找不出R点的运动规律，特别是充分利用圆的割线、切线的性质，找出R点与C点的坐标关系，由C点的运动规律来确定R点的轨迹．另外，x≠0的条件也易被漏掉．启示：动点R的动是由动点C的动引起的，而动点C的轨迹为已知时，常用相关点法求动点的轨迹．